廣義Fibonacci數列

廣義斐波那契序列(generalized Fibonacci sequence)是斐波那契數的推廣。由遞推關係F^(m)₁=F^(m)₂=…=F^(m)_m-1=0，F^(m)_m=1，F^(m)_m+n=F^(m)_n+F^(m)_n+1+…+F^(m)_n+m+1，n≥1所產生的序列，稱為m級廣義斐波那契序列。

基本介紹

• 中文名：廣義Fibonacci數列
• 外文名：generalized Fibonacci sequence
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等數論(素數分布)
• 簡介：是斐波那契數的推廣

基本介紹

廣義斐波那契序列由遞推關係

所產生的序列，稱為m級廣義斐波那契序列，其通項表達式為

式中s=0，1，2，…;k=1，2，…，m。設ω為方程

的惟一正根，則

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定義及通項表達式

人們對Fibonacci數列的研究興趣歷時幾百年而不衰，後來又將這個數列進行推廣，得到了廣義Fibonacci數列。2004 年，馬巧雲利用生成函式得出了廣義Fibonacci數列的一個通項表達式。

廣義Fibonacci數列由如下的遞推公式給出:

特別的當q=0,p= 1時，記作{f_n}，稱為熟知的Fibonacci數列。其通項公式為:

當q=2,p=1時記作{L_n}稱為Lucas數列。其通項公式為:

廣義Fibonacci數列與Fibonacci數列{f_n}符合如下的關係式

著名的Fibonacci數列有許多通項表達式和性質。陳淑貞，曾慶年利用數學歸納法和特徵方程求根的方法對廣義Fibonacci數列進行研究，得到了兩個通項表達式和一個性質。

周期性

Wall D D1960年證明了廣義Fibonacci數列以任意正整數為模的模數列是周期數列，袁明豪在2007年也得到了類似結論。

黃金分割數

吳強將Fibonacci數列進行了推廣，利用生成函式的方法得出廣義Fibonacci數列的通項及廣義Fibonacci數列任意相鄰四項之間的關係，討論了這種數列的前後項之比的收斂性及極限仍然為黃金分割數。