康托爾集

在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·史蒂芬·史密斯在1875年發現），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

基本介紹

• 中文名：康托爾集
• 外文名：Cantor set
• 領域：數學
• 引入者：格奧爾格·康托爾
• 引入時間：1883年
• 發現者：亨利·約翰·史蒂芬·史密斯
• 發現時間：1875年

引入

通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托爾集。

康托三分集

取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由於在不斷分割捨棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾點集，記為P。稱為康托爾點集的極限圖形長度趨於0，線段數目趨於無窮，實際上相當於一個點集。操作n次後

邊長r=(1/3)^n，

邊數N(r)=2^ⁿ，

根據公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

所以康托爾點集分數維是0.631。

性質特點

康托三分集中有無窮多個點，所有的點處於非均勻分布狀態。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統。

康托三分集具有

（1）自相似性；

（2）精細結構；

（3）無窮操作或疊代過程；

（4）傳統幾何學陷入危機。用傳統的幾何學術語難以描述，它既不滿足某些簡單條件如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難於描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。

（5）長度為零；

（6）簡單與複雜的統一。

康托爾集P具有三條性質：

1、P是完備集。

2、P沒有內點。

3、P的基數為c。

4、P是不可數集。

康托爾集是一個基數為c的疏朗完備集。

三進制理解

在長度為1的直線段中，將所有點按三進制編碼。

即第一次去掉的點，為三進制編碼小數中，第一位小數為1的所有點；同理，第N次操作，就是去掉三進制小數中，第N位為1的點。

最後得到的康托爾集，用三進制表示，就是小數位只有0，2的所有小數。

說明：0.1(3)是康托爾集中的點，但不符合上述描述。在上述描述中，是以0.02（2的循環）表示的。

如果要消除這種循環表示方法，可以定義為：康托爾集，用三進制表示，就是小數位的有效數字最後一位可以為1，2；其他位數只有0，2的所有小數。

構造

康托爾集是由不斷標記線段的中間三分之一而得出。首先，從區間(0,1)中標記中間的三分之一[1/₃,2/₃]，並選取端點1/₃、2/₃，留下兩條線段：(0,1/₃) ∪ (2/₃,1)。然後，把這兩條線段的中間三分之一都標記，並選取端點1/₉、2/₉、7/₉、8/₉，留下四條線段：(0,1/₉) ∪ (2/₉,1/₃) ∪ (2/₃,7/₉) ∪ (8/₉,1)。把這個過程一直進行下去，其中第n個集合為：

康托爾集就是由所有過程中被選取的點組成。