庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓撲結構。

基本介紹

  • 中文名庫拉托夫斯基閉包公理
  • 作用:定義一個集上的拓撲結構
  • 學科:數學
介紹,定義,等價的證明,

介紹

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓撲結構,它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定義

拓樸空間是集合X及作用在X的冪集上的閉包運算元:
閉包運算元需符合以下條件:
如果不要求第二個公理即冪等公理,則剩下的公理定義了預閉包運算元。

等價的證明

從由閉包運算元定義的拓撲空間開始。A稱為在
閉合的,若
。亦即,X的閉集是閉包運算元的不動點
若稱“開集”為其補集為閉集的集合,則所有開集會形成一個拓撲,證明如下:可知
為閉集;由閉包運算元的閉合性可知X為閉集。因此,X
(分別為
X的補集)為開集。令X的子集
(其中
為任意集合)皆為開集,由閉集的定義可知
為開集。令X的子集AB為開集,可知
為開集。
相反地,由開集定義的拓撲也可推導至由閉包運算元定義的拓撲空間。令外,也可得出下列等價的定義:
兩個拓撲空間之間的函式
稱為連續的,若對所有X的子集A',
一個點稱之為在
內是接近A的,若

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