幾何公理體系的基本問題

幾何公理體系的基本問題包括公理體系的相容性、獨立性和完備性。是D.希爾伯特在《幾何基礎》一書中為完善歐幾里得幾何公理系統、各公理組間的邏輯關係而提出的。

基本介紹

• 中文名：幾何公理體系的基本問題
• 外文名：Geometry Axiomatics fundamental problems
• 包括：公理體系的相容性
• 作者：D.希爾伯特

幾何公理體系的基本問題

Geometry Axiomatics，fundamental problems in

幾何公理體系的3個基本問題

包括公理體系的相容性、獨立性和完備性。是D.希爾伯特在《幾何基礎》一書中為完善歐幾里得幾何公理系統、各公理組間的邏輯關係而提出的。

相容性

在公理系統中如果不能推導出兩個互相矛盾的命題（即互為反命題的命題），這個公理系統就稱為相容的或無矛盾的，也稱和諧的。一個公理體系如果有矛盾，它在邏輯上就不正確，更談不上在現實中的套用，這種公理體系就不能成為一種理論，因此要求任何公理體系必須是相容的 。靠演繹法不能證明公理體系的相容性，因為已推證出若干條命題無矛盾，也不能保證再往下推不會出現矛盾，所以需要利用構造模型的方法，只要能找到這個公理體系的一個模型(或實現)，就證明了該公理體系必是相容的。歐幾里得幾何的相容性可藉助解析方法將它歸結為算術的相容性，即構造歐幾里得幾何公理體系的算術模型（或實數模型）。

獨立性

公理體系的獨立性是指該公理體系中的每條公理都有其存在的必要，即每條公理都不是其餘公理的推論。否則，將此條公理去掉，不會影響該公理體系的結論。所以獨立性的問題就是在保留同樣多的推論的前提下，公理體系中公理個數最少問題。證明某一條公理獨立性問題，即構造一個模型滿足其他所有公理而不滿足該條公理。

完備性

公理體系的完備性就是該體系中有足夠個數的公理，以之為依據可推導出該體系的全部結論。例如，歐幾里得在《幾何原本》中所列公理，作為歐氏幾何公理體系是不夠的，而希爾伯特公理體系則是完備的公理體系。即它所刻畫的幾何空間是唯一的。如何證明，仍須用構造模型的方法，即證明該公理體系的所有模型都同構（邏輯結構相同）。如歐幾里得幾何公理體系完備性的證明，即由該體系的每一模型都與實數模型同構而得到它的所有模型同構。

對任何一個公理體系要求它必須是相容的，最好是獨立的，至於完備性則可根據需要而定。例如，歐幾里得幾何體系是相容的、獨立的並且是完備的，所以歐幾里得幾何有豐富的內容，它刻畫了歐幾里得空間，而絕對幾何體系是不完備的，但它卻既適合歐幾里得幾何也適合羅巴切夫斯基幾何（非歐幾何）。