平坦態射

平坦態射（flat morphism）是平坦模的推廣和相對化。平坦態射是開映射，而且是等維數的（即對於s∈S的鄰域，f的纖維有相同維數）。

基本介紹

• 中文名：平坦態射
• 外文名：flat morphism
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 定義：平坦模的推廣和相對化
• 涉及：平坦模

概述

平坦態射（flat morphism）是平坦模的推廣和相對化。設是概形的態射，若對於任意的點，局部環是平坦環，則稱是平坦態射，X稱為平坦S概形。直觀上看，有限型平坦態射相當於代數簇的連續族。平坦態射是開映射，而且是等維數的（即對於的鄰域，的纖維有相同維數）。若平坦態射又是滿的，則稱為忠實平坦的。

定理及引理

平坦性是一個不很直觀的概念：一個環上的模稱為平坦模，如果對任意-模的單同態，誘導同態ⓧⓧⓧ是單同態。設為一個代數集上的模層，若任一點上的莖是上的平坦模，則稱在上是平坦的。一個代數集的態射稱為平坦的，如果對任意，是平坦模（此時亦稱在上平坦）。

引理：設為代數閉域上的擬射影代數集，為上的代數集（即給定了態射和）。

（1）上的可逆層是平坦的。

（2）開嵌入是平坦態射。

（3）平坦態射的合成是平坦態射。

（4）和在上平坦。

（5）若和都是仿射的，其函式環分別為、，則在上平坦若且唯若為平坦-模。

（6）在上平坦若且唯若有一個開覆蓋，其中每個在上平坦。

（7）若態射平坦則態射平坦（簡言之“基變換保持平坦性”）。

（8）設在上平坦，為-態射。若對任一點，在上的纖維平坦，則平坦。

（9）設在上平坦，為閉嵌入，其理想層為。若在任意點上的纖維是單射，則在上平坦。

（10）若是平坦滿射且是連通的，則在上的所有纖維具有相同的維數。

（11）若在上是有限的，則平坦若且唯若是局部自由模層。

（12）若平坦則是開映射。