婆羅摩笈多定理

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。

如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。過M做EF⊥BC於點E，交AD於點F。那么F是AD的中點。

基本介紹

• 中文名：婆羅摩笈多定理
• 外文名：Brahmagupta Theorem
• 別名：布拉美古塔定理
• 提出者：婆羅摩笈多
• 提出時間：約公元628年
• 適用領域：幾何
• 套用學科：數學

定理定義

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於該四邊形一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱,叫做"布拉美古塔定理"（又譯"卜拉美古塔定理"）。

驗證推導

幾何證法

∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CBD= ∠CAD，∠CME= ∠AMF

∴∠CAD= ∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD= 90°，同時∠MAD+ ∠MDA= 90°

∴∠FMD= ∠FDM

∴MF=DF

∴AF=DF，即F是AD中點

向量證法

∵A、F、D共線，由共線向量基本定理可知，存在唯一實數k，使。其中

又MF⊥BC

∴

展開得

∵MD⊥MC、MA⊥MB，即，

∴

∵,

∴

∴，即F是AD中點

定理推廣

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直於對邊。

如上圖，圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中點，則FM⊥BC。

過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線，必過其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心。

幾何證法

∵MA⊥MD，F是AD中點

∴AF=MF

∴∠CAD= ∠AMF

∵∠CAD= ∠CBD，∠AMF= ∠CME

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CME+ ∠BME= ∠BMC=90°

∴∠CBD+ ∠BME= 90°

∴EF⊥BC

向量證法

∵F是AD中點

∴

∴MF⊥BC