山路引理

山路引理(mountain pass lemma)是證明非線性橢圓型方程邊值問題有解的重要工具，是極小極大原理的一個簡單而重要的特殊情形，由義大利數學家阿姆布羅塞蒂(A.Am-brosetti , )和美國數學家拉比諾維茨(P. H.Rabi-nowitz)於1973年證明的定理。

基本介紹

• 中文名：山路引理
• 外文名：mountain pass lemma
• 所屬學科：數學
• 套用：微分方程邊值問題
• 提出者：阿姆布羅塞蒂，拉比諾維茨

定義

山路引理設 是Banach空間， 滿足

(i) ，存在 使得 ；

(ii) 存在 使得 。

令 是 中聯結0與e的道路的集合，即

再記

那么， ， 關於c有臨界序列。如果 再滿足P-S條件，則c是 的臨界值。

山路引理的證明

形變定理

設 ，c∈R。如果 關於c沒有臨界序列，則存在 ，使得：對任意 ，存在滿足下列條件的函式 ：

1° ；

2° 關於t是單調減函式，特別地有

3° 當 ；

4° 是 的同胚(對任意取定的 )；

5° ；

6° ；

7°如果 為偶泛函，則 對u為奇運算元(t取定時)。

引理

設 ，如果 滿足P-S條件，且 關於c有臨界序列，則c為 的臨界值。

證明過程

證明： 任取 ，由於 連續，因而 ， 再由(2)知 ，又對任意 ，由條件(ii)及(i)有

根據 的連續性知道，存在 ，使得 ，因此由(i)得

從而由(2)得 。

假如 關於c沒有臨界序列，由形變定理，存在 ，當 時，存在 具有性質1°～6°。對 ，由(2)知道：存在 使得

考慮 ，由於

由性質3°得出

因此 ，從而由(2)有

由(3)及性質6°得

即

此式與(4)相矛盾，故 關於c有臨界序列。如果 再滿足P-S條件，由引理得出； c是 的臨界值。證完。