小樣本理論

小樣本理論是由英國統計學家威廉.西利.戈塞特（William Sealy Gosset，1876-1937）於20世紀初葉創立的，其中小樣本是指樣本容量小於50（有寫規定為小於等於30）。小樣本分布在統計假設檢驗和區間估計等方面的套用，可以省人、省錢、省時間，因而，引起了工業、農業和科學研究等實際工作者的重視和歡迎；同時，也吸引更多的統計學家開拓這方面新的領域。

基本介紹

• 中文名：小樣本理論
• 外文名：small sample theory
• 別名：精確樣本理論
• 創立者：William Sealy Gosset(英國)
• 形成時間：19世紀初葉
• 容量標準：n<50
• 套用領域：統計假設檢驗和區間估計等

簡介

創立者

小樣本理論和方法的創立者是威廉.西利.戈塞特（William Sealy Gosset，1876-1937），他是英國統計學家，是現代統計方法及其套用於實驗設計與分析的先驅。

形成背景

小樣本理論的系統形成，是19世紀初葉的事情。小樣本分布在統計假設檢驗和區間估計等方面的套用，可以省人、省錢、省時間，因而，引起了工業、農業和科學研究等實際工作者的重視和歡迎；同時，也吸引更多的統計學家開拓這方面新的領域，這樣便推動著小樣本理論及其套用不斷地向縱深發展。

容量標準

當樣本容量 n<50 的時侯，構造統計量一般不能藉助於大樣本理論。這時，統計量的分布為與常態分配不同的新分布，於是產生小樣本分布的理論。

常見分布

在小樣本理論里，最常見的分布有：t 分布，分布和 F 分布。一般說來，從正態總體裡，隨機抽取容量為（n<50）的樣本，構造變數，變數和 F 變數等統計量，研究這些統計量的機率分布和性質等，形成了小樣本統計方法的系統理論。

定義

小樣本理論是樣本理論的一個分支，樣本分布與樣本的數量 n 有關，小樣本理論是討論樣本數 n 較小的樣本分布問題。

小樣本理論（small sample theory）亦稱精確樣本理論，統計量性質的一種刻畫，它研究樣本容量固定時，各種統計量的性質及由此進行的統計推斷。精確樣本理論最早的例子是由英國統計學家和化學家戈塞特(Gossett , W. S.)於1908年提出的 t 分布。

理論系統

卡方分布

設獨立同分布於標準常態分配，則的分布稱為自由度為 n 的卡方分布，記作。

若隨機變數，則，根據伽馬分布的可加性有，由此可見分布是伽馬分布的特例。

（1）分布的密度函式的圖像是一個只取非負值的偏態分布，其具體表達式為：

（2）它的期望等於自由度，方差等於2倍自由度，即：

F分布

設隨機變數，其中獨立，則稱的分布是自由度為 m 與 n 的 F 分布，記作，其中 m 稱為分子自由度，n 稱為分母自由度。

（1）F 分布的密度函式是一個只取非負值的偏態分布，表達式為：

（2）當隨機變數時，對給定，稱滿足機率等式的是自由度為 m 與 n 的 F 分布分位數；

（3）由 F 分布的構造可知，若則有。

t分布

設隨機變數獨立，且，則稱的分布為自由度為 n 的 t 分布，記為：。

（1）t 分布的密度函式的圖像是一個關於縱軸對稱的分布，與標準常態分配的密度函式形狀類似，只是峰比標準常態分配低一些，尾部的機率比標準常態分配大一些；自由度為 n 的 t 分布密度函式的具體表達式為：

（2）自由度為1的 t 分布就是標準柯西分布，它的均值不存在；

（3）n>1 時，t 分布的數學期望存在且為0；

（4）n>2 時，t 分布的方差存在，且為；

（5） 當自由度較大（如）時，t 分布可以用分布近似。