射影測度

射影測度(projective measure)是射影幾何的一個術語，距離的射影測度(射影距離)和夾角的射影測度(射影角度)合稱為射影測度。射影測度是凱萊(A.Cayley)於1859年建立的，1871年，克萊因(C.F.Klein)利用射影測度的概念來說明非歐幾何學。非退化的二階曲線有實虛兩種情況，若絕對形為非退化的實二階曲線，則可構成羅氏幾何；若絕對形為非退化的虛二階曲線，則可構成黎氏幾何，這兩種幾何合稱非歐幾何，這樣非歐幾何就可以從射影測度的概念導出，因為射影測度是由交比來定義的，它屬於射影性質，所以非歐幾何可以利用射影測度從射影幾何導出。

基本介紹

• 中文名：射影測度
• 外文名：projective measure
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(非歐幾里得幾何)
• 提出者：凱萊(A.Cayley)

基本介紹

1859年A.凱萊將拉蓋爾思想進一步發揮，得到角的射影測度的概念。將拉蓋爾公式中的一對圓點，看作是變態(退化)的二級曲線，並以常態（非退化）二級曲線來代替。1871年F.克萊因首先發明使用射影測度來說明非歐幾何。簡單來說，他在復射影平面上的實絕對形內部，規定了一些具體概念，定義射影測度後，作成了一個羅氏幾何的射影模型即克萊因模型，在這個模型里。羅氏幾何的全部公理都能夠得到解釋，因而羅氏幾何的全部概念和定理都能在模型中體現出來。

相關概念與定理

在平面內，取定一條常態二級曲線，並選定一常數k(k≠0)。對於平面內的任意兩條直線a、b，從它們的交點引的兩條切線t₁、t₂(圖1)，作函式

因為二直線a、b確定以後，它們的交點也就唯一地確定，二切線t₁、t₂隨即也被確定，由於

圖1

所以函式由二直線a、b唯一確定(除符號外)。利用交比的性質，可以驗證函式滿足下列三個條件：

1．，

2．；

3．若直線a、b、c相交於一點，則

定義1 函式稱為二直線a、b的有向夾角的射影測度，簡稱為射影角度。預先規定的二級曲線f稱為這測度的絕對形，常數k稱為測度係數。

下面我們研究射影角度的表達式。

設二級曲線(給定的絕對形)的方程為

二直線a、b的坐標分別為及，由a、b的交點所引的二切線t₁、t₂(它們a、b屬於同一線束)的坐標可以表為

由於與二級曲線相切，故有

展開，得

其中。

所以

如果以表示這兩個根，那么的坐標分別為

因此

對偶地，我們可以規定兩點間距離的射影測度。在平面內，給定一條常態的二階曲級，並選定一常數K(K≠0)。對於平面內的任意兩點A、B，它們的連線交二階曲線於P₁、P₂(圖2)，作函式

圖2

函式d(A，B)被A、B兩點唯一確定(除符號外)，利用交比的性質，可以驗證函式d(A，B)滿足下列三個條件；

1．d(A，A)=0；

2．d(A，B)=-d(B，A)；

3．若么、B、C是一直線上的三點，則d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。

定義2 函式稱為兩點A、B間的有向距離的射影測度，簡稱為射影距離。預先規定的二階曲線稱為這測度的絕對形，常數K稱為測度係數。

設二階曲線的方程為

二點A，B的坐標分別為(a₁，a₂，a₃)及(b₁，b₂，b₃)，類似地可求出射影距離的表達式

其中。

由射影距離的定義還可以看出，當A(或B)P₁(或P₂)時，交比(P₁P₂，AB)0，d(A，B)。因此有

定理1 平面上任何一點與絕對形上的任何點間的射影距離為無窮大。

由定理1可以看出，作為絕對形的二階曲線與歐氏測度中的無限遠直線相當。

定義3 設二直線的交點在實的絕對形上，則稱這二直線為平行直線。

關於射影角度，我們有如下的定理。

定理2 如果二直線的交點在絕對形上，則它們的夾角的射影測度等於零。

證明 若二直線a、b的交點在絕對形上，過此交點所引的的兩條切線重合為一條直線，即，交比(tt，ab)=1。

。

定理2說明，兩條平行直線所成的夾角等於零。