密克定理

密克定理是幾何學中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克（Auguste Miquel）敘述並證明了數條相關定理。許多有用的定理可由其推出。密克的第一條定理，是十八世紀已有的著名經典結果。

基本介紹

• 中文名：密克定理
• 外文名：Miquel Theory
• 提出者：奧古斯特·密克
• 提出時間：1838年
• 套用學科：數學 幾何
• 適用領域範圍：數理科學

定義

密克定理是幾何學中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克（Auguste Miquel）敘述並證明了數條相關定理。許多有用的定理可由其推出。

定理：設在一個三角形的每一邊上取一點，過三角形的每一頂點與兩條鄰邊上所取的點作圓，則這三個圓共點。利用圓周角性質易證此定理。

定理陳述

三圓定理

設三個圓C1, C2, C3交於一點O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點。設A為C1的點，直線MA交C2於B，直線PA交C3於C。那么B, N, C這三點共線。（注意：M、N、P並不共線）

證明思路：

1、圓C2和C3用圓冪定理，再套到C1里，化簡得梅涅勞斯等式。

2、連幾條線，三個四點共圓導角得到三點共線（三圓共點的條件可以轉換成三條公共弦的三線共點）。

3、先畫兩個圓，假設點N是BC延長線與圓c2的交點，再導角證明OCPN共圓。

逆定理：如果是三角形，M, N, P三點分別在邊AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圓交於一點O。

完全四線形定理

如果ABCDEF是完全四邊形，那么三角形的外接圓交於一點 O，稱為密克點。

四圓定理

設C1, C2,C3, C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2 和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點。那么A1, A2, A3, A4四點共圓若且唯若B1, B2, B3, B4四點共圓。

五圓定理

設ABCDE為任意五邊形，五點F, G, H, I, J分別是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交點，那么三角形的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，不穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。

發展簡史

1838年奧古斯特·密克在約瑟夫·劉維爾的期刊《Journal de mathématiques pures et appliquées》（純粹與套用數學雜誌）發表了這定理的一部份。

密克的第一條定理，是十八世紀已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點稱為密克點，但這性質雅各布·施泰納在1828年已經知道，威廉·華萊士也已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由威廉·金登·克利福德提出及證明。2000年12月20日，江澤民主席出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求證“五點共圓”的問題，令問題重新引起廣泛興趣。阿蘭·科納在2002年10月的一個研討會也重提這問題。