定時對策

定時對策(game of timing)是一類特殊的兩人無限零和對策，是單位正方形上的對策，局中人尋求純策略表達和採取行動的時間選擇。20世紀50年代，曾用這類對策解決了一些軍事問題，特別是建立了一些空軍戰略和空戰的模型，得出了一些有意義的結果。

基本介紹

• 中文名：定時對策
• 外文名：game of timing
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學(對策論)
• 相關問題：支付函式，兩人零和對策等

基本介紹

定義在單位正方形上的無限對策，如果它的支付函式取下列形式：

其中都是連續函式，但在正方形的對角線不連續，這種對策稱為定時對策(games of timing)。

相關概念與分析

定時對策的典型例子是決鬥(duel)。假定有兩個決鬥者(局中人)，每個局中人只有一粒子彈，在時間區間中開槍。開槍時間越晚，離對手越近，命中率越高。但是，離對手越近，被對手擊中的可能性越大。因此，決鬥雙方都需選擇一個最優策略——適當的時機開槍。這個例子可以用來描述軍事戰爭，如決鬥者換成空戰雙方只攜帶一枚飛彈的戰鬥機；也可用來描述商業行動：如兩個占有同一市場的寡頭，雙方都想把對手擠出市場，用降低價格的方法進行傾銷。前者在第二次世界大戰中得到充分研究，後者在40 年代和50 年代也有過不少研究。下面給出這一類對策的數學模型。

以“無聲決鬥”(silent duel)為例。兩個局中人(決鬥者)在相距2 時同時面向而行，每個局中人在時間單位中只開槍一次，它不知道對手是否被擊中，當局中人1在處開槍，擊中對手的機率為，局中人2在處開槍，擊中對手的機率為。

圖1

設是連續單調減函式(距離越遠，命中率越低)，且。如果局中人1擊中對手而自己沒有損傷(對手沒開槍或者開槍沒有命中)嗎，其支付為1。

如果局中人1被擊中，則支付為-1。如果雙方打成平手，即同時沒命中或同時命中，雙方的支付均為0。該對策的支付函式為

求解這個對策，從數學角度看來，其主要難點是極可能在處不連續。為解決這個難題，這裡引進最優策略和sup-inf值概念。

定義 設兩人零和對策的支付函式有界，如果

其中

則稱為該對策的sup-inf值。設和為實數，滿足

其中是對策的sup-inf值，則稱F*和G*分別為局中人1和局中人2 的最優策略，稱為該對策的值。

定理設單位正方形上對策的支付函式為

，其中分別是定義在

上的連續函式，滿足

則該對策有sup-inf值，且對，每個局中人至少有最優策略。