完全平方公式

完全平方公式

完全平方公式即(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2

基本介紹

  • 中文名:完全平方公式
  • 外文名:Perfect square trinomial
  • 學科:數學
  • 公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
定義,學習方法,公式口訣,公式變形,變形的方法,套用,注意事項,

定義

兩數和的平方,等於它們的平方和加上它們的積的2倍。
(a+b)2=a2﹢2ab+b2
兩數差的平方,等於它們的平方和減去它們的積的2倍。
﹙a-b﹚2=a2﹣2ab+b2
該公式是進行代數運算與變形的重要的知識基礎,是因式分解中常用到的公式。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及套用。難點是對公式特徵的理解(如對公式中積的一次項係數的理解等)。

學習方法

公式特徵(重點)
完全平方公式的轉換完全平方公式的轉換
學會用文字概述公式的含義:
兩數和(或差)的平方,等於它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍。叫做完全平方公式.為了區別,我們把前者叫做兩數和的完全平方公式,後者叫做兩數差的完全平方公式。
這兩個公式的結構特徵:
  1. 左邊是兩個相同的二項式相乘,右邊是三項式,是左邊二項式中兩項的平方和,加上或減去這兩項乘積的2倍;
  2. 左邊兩項符號相同時,右邊各項全用“+”號連線;左邊兩項符號相反時,右邊平方項用“+”號連線後再“-”兩項乘積的2倍(註:這裡說項時未包括其符號在內).
  3. 公式中的字母可以表示具體的數(正數負數),也可以表示單項式多項式等數學式.

公式口訣

首平方,尾平方,首尾相乘放中間。
或首平方,尾平方,兩數二倍在中央。
也可以是:首平方,尾平方,積的二倍放中央。
同號加、異號減,負號添在異號前。(可以背下來)
(注意:後面一定是加號)

公式變形

變形的方法

(一)、變符號:
例1:運用完全平方公式計算:
(1)
(2)
分析:本例改變了公式中a、b的符號,以第二小題為例,處理該問題最簡單的方法是將這個式子中的(-a)看成原來公式中的a,將(-b)看成原來公式中的b,即可直接套用公式計算。
解答:
(1)原式=
(2)原式=
(二)、變項數:
例2:計算:
分析:完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘,而本例中出現了三項,故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項,從而化解矛盾。所以在運用公式時,(3a+2b+c)2可先變形為
,直接套用公式計算。
解答:原式=
(三)、變結構
例3:運用公式計算:
(1)
(2)
(3)
分析;本例中所給的均是二項式乘以二項式,表面看外觀結構不符合公式特徵,但仔細觀察易發現,只要將其中一個因式作適當變形就可以了。
解答:
(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=

套用

例4:計算:
(1)
(2)
分析:本例中的999接近1000,100.1接近100,故可化成兩個數的和或差,從而運用完全平方公式計算。
解答:
(1)原式=
(2)原式=
公式的變形:熟悉完全平方公式的變形式,是相關整體代換求知值的關鍵。
例5:已知實數a、b滿足(a+b)2=10,ab=1。
求下列各式的值:
(1)
(2)
分析:此例是典型的整式求值問題,若按常規思維把a、b的值分別求出來,非常困難;仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來,運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。
解答:
(1)原式=
(2)原式=

注意事項

  1. 左邊是一個二項式的完全平方。
  2. 右邊是二項平方的和,加上(或減去)這兩項乘積的二倍,a和b可是數,單項式多項式
  3. 不論是(a+b)2還是(a-b)2,最後一項都是加號,不要因為前面的符號而理所當然的以為下一個符號。
  4. 不要漏下一次項。
  5. 切勿混淆公式。
  6. 運算結果中符號不要錯誤。
  7. 變式套用難,不易於於掌握。
  8. 最重要的是做題小心謹慎。

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