天體力學數值方法

套用常微分方程數值理論來求解天體運動方程的方法。它與分析方法﹑定性方法並列為天體力學的三個基本方法。天體力學數值方法常稱為特殊攝動方法。傳統的分析方法用在研究彗星的運動和小行星的運動上會遇到困難。這些小天體的軌道偏心率和傾角往往比較大﹐以致不能按傳統方法把它們當作小參數來進行級數展開(見攝動理論)。冥王星軌道的大偏心率也給研究冥王星的運動帶來困難。

基本介紹

• 中文名：天體力學數值方法
• 性質：科學
• 類別：數學
• 屬於：方法

概述

因此﹐需要用數值方法來求解。人造衛星上天后﹐數值方法幾乎成為設計和精確決定人造天體軌道的主要手段。近年來﹐這種方法還被用來研究小恆星系的運動和多體問題等課題。數值方法與分析方法相比﹐優點是套用範圍廣﹐計算公式簡單﹐可以達到很高的精度﹔缺點是計算的步長不能取得很大﹐需要花費大量計算時間﹐只有在套用電子計算機的條件下才能得到廣泛運用。顯然﹐步長愈小﹐花費的計算時間愈多。 天體力學數值方法最早可追溯到高斯的工作方法。十九世紀末形成的科威耳方法和亞當斯方法，至今仍為天體力學的基本數值方法，但在電子計算機出現以前，套用不廣。

常用的數值方法

二十世紀初科威耳和克洛梅林在研究哈雷彗星的運動時﹐成功地採用了數值方法。他們所用的方法被稱為科威耳方法。科威耳等用天體的直角坐標為變數﹐考慮天體在其他天體的引力作用下的運動﹐列出了運動方程﹕d /dt =f (t ﹐ )﹐它是二階微分方程組而不是一階的﹔它右邊的函式f 不包含速度d /dt 。科威耳方法是求多體問題數值解的主要方法。五十年代布勞威爾﹑克萊門斯和埃克特用科威耳方法在電子計算機上建立了木星﹑土星﹑天王星﹑海王星﹑冥王星 5顆外行星的數值歷表﹐顯示了數值方法的潛力。

短周期彗星的坐標變化較快﹐步長不能取得大﹐需要花費大量計算時間。恩克提出以天體直角坐標的攝動量為變數。這種變數變化緩慢﹐步長可以取得很大﹐但計算過程要比科威耳法繁複得多。以攝動量為變數的方法叫恩克方法﹐常用於計算短周期彗星和月球火箭的軌道。

人造衛星軌道研究中經常用軌道要素為變數﹐這是一階常微分方程組﹐不具有多體問題運動方程的特點﹐對這類問題進行數值積分時﹐可以套用常微分方程數值理論中通用的亞當斯方法或龍格-庫塔方法。

數值方法的質量標準

評價數值方法好壞的重要標準是它的誤差﹑穩定性和計算工作量。誤差愈小﹐穩定性愈強﹐計算工作量愈小﹐則方法愈好。用數值方法進行計算時產生的誤差可分為兩類﹕截斷誤差和捨入誤差。截斷誤差來自按數值方法算得的結果和原微分方程的解之間的差別﹐截斷誤差愈小﹐表明這種方法的精度愈高。捨入誤差來自計算過程中數字的捨入。兩種誤差在逐步計算過程中一般都會累積擴大﹐累積的規律是複雜的﹐至今尚未完全弄清楚。布勞威爾探討了用科威耳方法計算天體的直角坐標時捨入誤差的累積﹐得出的結論是捨入誤差大約以計算步數的3/2次冪的規律累積。

判斷數值方法的穩定性在於﹕計算的某一步中產生的誤差在以後的逐步計算過程中以怎樣的方式傳遞下去﹐在傳遞過程中是始終保持有界而有所增長﹐還是急劇增長以致淹沒了結果的有效數字。穩定性和步長有關﹐步長愈大﹐穩定性愈差。高精度的方法往往因穩定性太弱而不能使用。

計算工作量決定於步長的大小和每步的計算時間。用電子計算機計算時﹐後者主要取決於每步計算微分方程右邊函式的次數。

要選擇一種兼有精度高﹑穩定性強﹑計算工作量小這三種優點的數值方法是很困難的。按這些標準對傳統的各種數值方法進行評價和計算表明﹐精度要求高或積分時間長的天體力學工作應當使用科威耳方法或亞當斯方法以節約計算時間﹐而龍格-庫塔方法只能作為輔助手段。對於精度要求低﹑積分時間短的工作﹐則上述方法均能使用。

新的數值方法

近年來﹐針對天體力學的一些特殊問題提出了一些新的數值方法和新的研究課題﹐例如﹐傳統的泰勒級數法雖然對一般微分方程是很難使用的﹐但用於多體問題﹑限制性三體問題卻獲得成功﹔有一種數值方法是針對天體運動微分方程的解的﹐這就是自變數的三角級數或是三角級數與冪級數相混合建立起來的數值方法﹔還有一種叫作穩定化技術﹐研究這種技術的目的是改變天休運動微分方程的形式以加強其穩定性。

人造衛星的運行遠比自然天體快﹐需要進行幾十圈﹑上百圈的數值積分。恆星集團構成的多體問題涉及成百上千的質點。這都給天體力學數值方法提出了新的要求和課題。

參考書目

P﹒Henrici﹐ Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations﹐John Wiley and Sons﹐New York﹐1962.

E.L.Stiefel and G.Scheifele﹐Linear and Regular Celestial Mechanics﹐Springer－Verlag﹐Berlin﹐1971.