多重線性等價

多重線性等價(mufti-linear equivalent)是具有相同多重線性恆等式的代數類。代數學是數學中一個重要的、基礎的分支。代數學一般分為初等代數學(或稱古典代數學)和抽象代數學(曾稱近世代數學)。

基本介紹

• 中文名：多重線性等價
• 外文名：mufti-linear equivalent
• 領域：數學
• 學科：代數學
• 性質：代數類
• 特點：具有相同多重線性恆等式

定義

多重線性等價(mufti-linear equivalent)是具有相同多重線性恆等式的代數類。設R₁與R₂是Λ代數，若R₂的多重線性恆等式也是R₁的恆等式，則記為R₁≤_multΛR₂。當R₁是R₂的子代數時，恆有R₁≤_multΛR₂.當R₁≤_multΛR₂，R₂≤_multΛR₁時，稱R₁與R₂是Λ上多重線性等價的，記為R₁≈_multΛR₂。若R₂的任一恆等式也是R₁的恆等式，則記為R₁≤_ΛR₂；若R₁≤_ΛR₂，R₂≤_ΛR₁，則稱R₁與R₂是等價的，記為R₁≈_ΛR₂。R₁≈_ΛR₂R₁≈_multΛR₂，反之不一定成立。

PI代數

PI代數式代數的特殊類。設A是有單位元交換環Λ上代數，X是不定元集，f(x₁，x₂，…，x_n)是自由代數Λ{x}的一個多項式，x∈X。若對A中任意r₁，r₂，…，r_n恆有f(r₁，r₂，…，r_n) =0，則稱f是A的一個恆等式，或稱A適合多項式恆等式f。對Λ代數A，若存在一個多項式恆等式，則稱A為PI代數。例如，交換代數適合恆等式x₁x₂-x₂x₁.交換代數和域F上有限維代數均為PI代數。PI代數的子代數、商代數、同態像、直積也為PI代數。

德恩(Dehn，P.M.)於1922年為解決希爾伯特(Hilbert，D.)提出的幾何問題，首先提出滿足一個多項式恆等式的概念；華格納(Wagner，W.)於1939年得到M₂(F)滿足的第一個著名恆等式。在雅各布森(Jacobson，N.)研究工作基礎上，卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1948年開闢了以PI理論研究環結構的新方向。希爾紹夫(Ширщов，А.И.)於1957年證明了著名的庫洛什問題對PI代數有肯定的回答。佛瑪乃克(Formanek，E.)與芮茲米斯洛夫(Razmyslov，Y.P.)於1972年獨立獲得了M_n(F)的中心多項式定理，從而建立了PI理論與交換環理論間的聯繫。羅文(Rowen，R.L.)於1980年出版了專著《環論中PI》，總結了PI代數發展的成果和尚未解決的問題。

代數

數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS)；矩陣(MATRICES)；四元數(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。這些結構以公理 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。

代數學是數學中一個重要的、基礎的分支。代數學一般分為初等代數學(或稱古典代數學)和抽象代數學(曾稱近世代數學)。

1.初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，研究數學和文字的代數運算(加法、減法、除法、乘法和開方)的理論和方法，更確切地說是研究實數或複數和以它們為係數的多項式的代數運算的理論和方法。其研究方法是高度計算性的，中心問題是實或復係數多項式方程(或稱代數方程)和方程組的解的求法及其分布的研究，因此也可簡稱為方程論，它的演變歷史久遠，中國和其它文明古國都有貢獻，歐洲則於16世紀、17世紀才系統地建立起這門學科，並繼續發展到19世紀的上半葉。隨電子計算機廣泛而深入的使用，有些內容的新發展已併入計算數學的範圍。

2.抽象代數學是在初等代數學的基礎上，通過數系概念的進一步推廣或者可以實施代數運算的對象的範圍的進一步擴大，逐漸發展形成的。它自18、19世紀之交萌芽，於20世紀20年代建立起來。它的研究對象是非特定的任意元素集合和定義在這些元素之間的滿足若干條件或公理的代數運算，亦即它以各種代數結構(或稱系統)的性質的研究為中心問題，其研究方法主要是公理化的。例如，考慮任意一些元素a，b，c……組成的一個非空集合S和一個或幾個運算，如記作o，……等。假設S中任兩個元素a，b依次序用運算。連線起來的結果aob仍然是S中一個完全確定的元素C(封閉性)，並假設對S中元素實施的運算單獨或相聯繫地遵守通常四則或有理運算所適合的一些法則或公理(如加法或乘法滿足結合律、交換律等)，則S對運算o成為一種代數結構。由各種代數結構出發研究它們的性質，即是所謂抽象代數學。

至今，已有群、環、域、模、代數、格以及泛代數、同調代數、範疇等重要代數結構。在各類代數結構的研究中，同類中兩個代數結構的同構及其推廣的同態的概念是基本的。抽象代數的理論和方法由於其一般性而對全部數學的發展有著顯著的影響，並對理論物理、結晶學也產生著重要的影響。