多值映射

多值映射(multivalued mapping )亦稱集值映射(setvalued mapping)，是映射概念的推廣，屬於拓撲學的一個基本概念。設X和Y是兩個集合，記2^Y={A|A⊂Y}，稱之為Y的冪集，從X到Y的一個集值映射指的是從X到2^Y的一個單值映射F：X→2^Y。對於A⊂X，F(A)=∪{F(x)|x∈A}稱為A在F下的像，graph(F)={(x，y)∈X×Y|x∈X，y∈F(x)}稱為F的圖象。任意給定Γ⊂X×Y，則由F(x)={y∈Y|(x，y)∈Γ}(ᗄx∈X)可惟一確定集值映射F：X→2^Y，使得graph(F)=Γ。由F^-1(y)={x∈X|(x，y)∈graph(F)}(ᗄy∈Y)定義的集值映射F^-1：Y→2^X稱為F的逆映射。設有F：X→2^Y，dom(F)={x∈X|F(x)≠∅}稱為F的有效域，若ᗄx∈X有F(x)≠∅，則稱F具非空值，這時dom(F)=X，當Y是拓撲空間或賦范線性空間時，若ᗄx∈X，F(x)為閉集(相應地，緊集，凸集，有界集等)，則稱F具閉值(相應地，具緊值，凸值，有界值等)。

基本介紹

• 中文名：多值映射
• 外文名：multivalued mapping 
• 別稱：集值映射
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：泛函分析
• 相關定理：多值映射不動點定理

定義

對於兩個集合，如果按照一個對應關係(規則)，使得對於X中的每一元素，都有中的一個(幾個)確定的元素與之對應，那么我們把這個對應關係叫做集合到集合的單值(多值)映射。通常用等符號來代表映射，當表示一個由集合到集合的映射，那么記，或。對任意，對於任意集合，我們把集合叫做的象；而對任何集合，我們把集合叫做的原象(逆象)。

自馮·諾伊曼(J.von Neumann)將集值映射不動點理論套用於博弈論之後，集值映射理論在鄰近學科中的套用日益廣泛。1969年5月在紐約州的布法羅市召開了集值映射的國際會議，更引起了鄰近學科工作者的廣泛重視。

相關定義與定理

定義1 對凸集上的函式，如果不等式

對任意的和任意成立，那么我們稱函式為X上的凹函式。當不等式是嚴格不等式時，我們叫為嚴格凹函式。類似可定義凸函式。

下面的定義都將限制集合是中的有界閉、凸集。

定義2 對多值映射，序列，如果當，且時有，那么，我們說映射是上半連續的。

當為單值映射時，以上就是它的連續性定義。

定理1 假定集合是凸，有界閉集，定必在上的連續函式關於是凹的，那么映射

是上半連續的，且集合是非空凸，閉集。

為了證明定理2，我們先要介紹下半連續的定義。

定義3 若從能夠推出存在，使得，則稱映射為下半連續。

定理2 假定集合X與Y是凸、有界閉集，函式定義在上，且對與分別是連續的，對是凸的，如果存在，使得對所有滿足。那么映射既是上半連續又是下半連續，並且集合是非空，凸且閉的。

下面的定理是以上兩個定理的推論。

定理3假定連續函式定義在上，其中是凸，有界閉集，對y是凹的，並且多值映射是上半且下半連續的，集非空，對任意是凸的。那么映射

是上半連續的，集合是非空，凸且有界閉的集合。

多值映射的線性組合

關於多值映射的線性組合，我們有如下定義。

定義4 假定有幾個映射是上半連續的，是凸且有界閉的集合，那么映射

叫做映射的線性組合，並用記號。

關於多值映射的線性組合，有如下結論：

定理4上半連續映射的線性組合也是上半連續的。

下述的日本學者卡庫坦的多值映射不動點定理，在經濟數學中占有重要地位。

定理5假定X是凸且有界閉的中的子集，映射是上半連續的，集合是非空凸集，那么存在使。