塞瓦定理

塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC內任取一點O,延長AO、BO、CO分別交對邊於D、E、F,則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)義大利水利工程師,數學家。塞瓦定理載於塞瓦於1678年發表的《直線論》一書,也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發現。

塞瓦定理記憶法:三頂點選一個作為起點,定一方向,繞一圈,三組比例相乘為1。

基本介紹

  • 中文名:塞瓦定理
  • 外文名:Ceva's theorem
  • 表達式: (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
  • 提出者:喬瓦尼·塞瓦
  • 提出時間:1678年
  • 套用學科:數學、物理
  • 適用領域範圍:平面幾何學
  • 適用領域範圍射影幾何學
  • 提出者國家:義大利
驗證推導,定理推廣,數學意義,記憶方法,

驗證推導

(1)本定理可利用梅涅勞斯定理證明:
∵△ADC被直線BOE所截,
塞瓦定理
∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直線COF所截,
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②/①約分得:
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
(2)也可以利用面積關係證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ,AF/FB=S△AOC/S△BOC
③×④×⑤得

定理推廣

證明三角形三條高線必交於一點:
設△ABC三邊的高分別為AE、BF、CD,垂足分別為D、E、F,根據塞瓦定理逆定理,因為
,所以三條高CD、AE、BF交於一點。
塞瓦定理
②三角形三條中線交於一點(重心):
如右圖:已知,D、E分別為△ABC的邊BC、AC 的中點,連線AD、BE相交於點O,連線CO並延長交AB於F
塞瓦定理證明三條中線交於一點塞瓦定理證明三條中線交於一點
求證:AF=FB
證明:∵BD=DC,CE=EA
∴BD/DC=1,CE/EA=1
由塞瓦定理得
(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AF/FB=1∴ AF=FB ,
∴CF為AB邊上的中線
∴三角形三條中線交於一點(重心)
③用塞瓦定理證明三條角平分線交於一點
此外,可用定比分點來定義塞瓦定理:
在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是λ=
、μ=
、ν=
。於是AL、BM、CN三線交於一點的充要條件是λμν=1。(注意與梅涅勞斯定理相區分,那裡是λμν=-1)
推論
1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是:
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
2.如圖,對於圓周上順次6點A,B,C,D,E,F,直線AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是:
(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圓弦長與所對圓周角關係易證。

數學意義

使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算,其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法,是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理,具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理。

記憶方法

塞瓦定理的優點多多,但是卻不是特別好記,這裡有一個方法。
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
塞瓦定理
相當於BD*CE*AF=DC*EA*FB
各位發現等式左右兩端字母竟然是一樣的!
可以如下表述,在記憶(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1時,可理解為在符合在三邊線段的前提下,分母分子字母一樣,且分母、分子內部有相同字母.。
另外一種記憶方式是,將圖中的ABC作為頂點,圖中的DEF作為分點,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是:頂點到分點(BD),該分點到另一頂點(DC),頂點再到分點(CE),分點再到頂點(EA),頂點再到分點(AF),分點再到頂點(FB)。

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