坎德定理

坎德定理是對圓內接四邊形構造射線、切線等操作後後對幾何及代數性質的研究，它與圓冪、根軸、調和聯繫密切，並且近年在高中數學聯賽及以上級別考試考察力度加大。

基本介紹

• 中文名：坎德定理
• 外文名：Kender Theorem
• 提出者：坎德
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：歐氏幾何

介紹

對於圓O內接四邊形ABCD，作兩組對邊延長線分別交於M、N，連線MN。四邊形ABCD對角線交於E。作NF，NG切圓O於F、G，連線FG。在劣弧BG上任取一點J，連線MJ，NJ分別交圓O於K，L。記MA·MB=δᴍ，NC·NB=δɴ，-EA·EC=δᴇ，即M、N、E對圓O的冪。那么有如下結論：
1.ME²=δᴍ+δᴇ
2.NE²=δɴ+δᴇ
3.MN²=δᴍ+δɴ
4.E為△MON的垂心
5.M,F,E,G四點共線
6.AC,BD,FG交與同一點E
7.N,H,E,I四點為調和點列
8.四邊形FHGI，四邊形FCBG為調和四邊形
9.K,E,L三點共線
10.∠MEN>90°

需要注意的是，坎德定理是許多幾何結論的結合，每一條結論都有廣泛套用，也都可以獨立成為命題，因此其完全形式的證明也略顯繁冗。在競賽中，坎德定理是不能直接套用的，必須作為引理提前證明。

推導過程

結論1：在ME延長線上取一點X使ME·MX=δᴍ，顯然有A,B,X,E，結合A,B,C,D共圓，倒角知A,M,C,X四點共圓，那么ME·EX=EA·EC，則命題成立。

結論2、3同理可證。

結論4：結合結論1、2，可以得到MO²-NO²=ME²-NE²，根據勾股差就證明了OE⊥MN。用相同的方法，只需要用到前三條結論就能夠證明另外兩組垂直，因此E是△MON的垂心。

結論5：首先套用結論6，下面考慮M,F,G三點。用梅涅勞斯定理及邊比定理的觀點來看，這個結論是較為容易證明的，只需要善用圓冪定理帶來的相似即可。

結論6：列出圓內三線共點的塞瓦定理逆定理，之後利用圓冪定理帶來的相似得到比例關係，不難證明。這裡如果用面積比等於相似比的平方這一小技巧，會更為簡潔。

結論7、8是調和四邊形的基本性質，證明從略。

結論9：證明方法和結論6類似，區別在於這裡的比例關係處理起來步驟更多。

結論10：結論1、2、3的推論，列出餘弦定理，得證。