庫爾特·哥德爾在1931年發表了著名的哥德爾不完備定理，他一部分是透過一階算術邏輯的語義表達技巧來完成定理的證明。
歷史,定理的內容,探討,
歷史
庫爾特·哥德爾在1931年發表了著名的哥德爾不完備定理，他一部分是透過一階算術邏輯的語義表達技巧來完成定理的證明。在他的算術語言中，每條表達式都配有各自的編碼。這個過程稱為“哥德爾編碼”，而每組表達式也可配有各自的編碼組。如此一來，各種語義屬性（例如：當成式子或當成句子）變成可計算的。我們就可透過算術式定義任何可計算的編碼組，具體而言，我們可用算術語言中的某些式子（即公理）為算術句子及可證明的算術句子定義出編碼組。
塔斯基不可定義定理則表明：這種編碼不能帶給我們語義的概念，例如：真理的概念。這表明：世上沒有任何直譯語言足以表達出它本身的語義。我們可推論出，元語言必須具備超越對象語言的表達能力，才可表達出對象語言的語義。元語言具有對象語言所沒有的原始概念、公理及規則，使得某些定理在對象語言中不可證明，在元語言中卻可證明。
一般認為不可定義定理是由塔斯基給出的。儘管哥德爾在1930年證明不完備定理的期間也發現了不可定義定理，遠早於塔斯基的發表，但是哥德爾並未發表自己有關不可定義性的發現，僅在1931年致約翰·馮·諾伊曼的信中提到它。
塔斯基在1929至1931年間完成了他大部分的論文成果，並向波蘭的聽眾演說。這篇論文就是1936年發表的《形式化語言中的真理概念》（Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen）。然而，正如他在論文中所強調的，不可定義定理was the only result not obtained by him earlier.根據論文中不可定義定理的註解（Satz I），這個定理及其證明的草稿是在送印前才加進論文中的。
他在1931年3月21日向波蘭科學院（Warsaw Academy of Science）進行論文演說時，僅寫下一些猜想，而沒有提到他基於自己的研究與哥德爾的簡報所完成的《元數學的完備性與相容性的一些結果》（Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit）。
塔斯基不可定義定理則表明：這種編碼不能帶給我們語義的概念，例如：真理的概念。這表明：世上沒有任何直譯語言足以表達出它本身的語義。我們可推論出，元語言必須具備超越對象語言的表達能力，才可表達出對象語言的語義。元語言具有對象語言所沒有的原始概念、公理及規則，使得某些定理在對象語言中不可證明，在元語言中卻可證明。
一般認為不可定義定理是由塔斯基給出的。儘管哥德爾在1930年證明不完備定理的期間也發現了不可定義定理，遠早於塔斯基的發表，但是哥德爾並未發表自己有關不可定義性的發現，僅在1931年致約翰·馮·諾伊曼的信中提到它。
塔斯基在1929至1931年間完成了他大部分的論文成果，並向波蘭的聽眾演說。這篇論文就是1936年發表的《形式化語言中的真理概念》（Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen）。然而，正如他在論文中所強調的，不可定義定理was the only result not obtained by him earlier.根據論文中不可定義定理的註解（Satz I），這個定理及其證明的草稿是在送印前才加進論文中的。
他在1931年3月21日向波蘭科學院（Warsaw Academy of Science）進行論文演說時，僅寫下一些猜想，而沒有提到他基於自己的研究與哥德爾的簡報所完成的《元數學的完備性與相容性的一些結果》（Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit）。
定理的內容
我們在這個小節會給出塔斯基定理的簡易版，接著在下個小節才會論及塔斯基在1936年的完整證明。
令L為一階算術語言，令N為L的標準結構。這樣，(L,N)就是“一階算術直譯語言”。L中的每個句子x都有各自的哥德爾數g(x)。令T為L中基於N為真的句子的集合，而T*為T中的句子的哥德爾數的集合。
現在的問題是：一階算術的句子可否定義出T*？
塔斯基不可定義定理的回答是：沒有任何L中基於N為真的式子定義出T*，亦即，沒有任何L中基於N為真的式子使得對任何L中的式子A，有g(A)為真若且為若A為真。
簡單來說，這個定理告訴我們：我們不可透過任何形式算術本身的表達能力定義出這種形式算術中的真理概念。這指出了自指範圍的主要限制。我們不可定義出extension為T的基於N為真的式子，不過我們仍可透過表達能力超越L的元語言來達到這點。例如：二階算術可定義出一階算術的真謂詞。可是元語言只可定義出對象語言中的句子的真謂詞。我們必須以更高階的元語言（即元語言的元語言）來定義元語言的真謂詞，這樣的定義方式是永無止盡的。
這個定理算是波斯特定理（Post's theorem）在算術階層中的引理。這個定理是繼塔斯基不可定義定理髮表數年後完成的。在波斯特定理的基礎下，我們可透過歸謬法給出塔斯基定理的語義證明如下： 假設T*是算術上可定義的，那么，我們可透過自然數n將T*定義在算術階層的第階。然而，對任何k，T*都是。這樣，算術階層就在第n階崩潰，違反波斯特定理。
探討
以謂詞與函式符號定義出自身中所有語義概念的直譯語言，就具有“語義上強自我表達”能力。其中，必要的函式包括：“語義評估函式”，用以將式子A映射到它的真值||A||，及“語義表示函式”，用以將用語t，映射到它所表示的物件。最終，塔斯基定理總結道：“沒有任何語言具有語義上強自我表達能力。”
無論如何，塔斯基不可定義定理並未禁止以較強的理論去定義較弱的理論中的真理。例如，透過二階算術可定義一階算術基於N為真；而透過一階策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）可定義二階算術（直到n階算術）的真式子。
雷蒙·史慕揚（Raymond Smullyan）強烈建議人們將目光從哥德爾不完備定理轉移到塔斯基不可定義定理上，因為後者主要涉及數學，而在哲學議題的範疇中效果不顯著。反之，塔斯基定理並不直接涉及數學，卻涉及任何形式語言在充分表達能力上先天限制，使我們深感興趣。這種語言藉由對角線引理（diagonal lemma）的作用產生充分的自指能力。引進塔斯基定理對哲學領域的擴展效果更加顯著。
無論如何，塔斯基不可定義定理並未禁止以較強的理論去定義較弱的理論中的真理。例如，透過二階算術可定義一階算術基於N為真；而透過一階策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）可定義二階算術（直到n階算術）的真式子。
雷蒙·史慕揚（Raymond Smullyan）強烈建議人們將目光從哥德爾不完備定理轉移到塔斯基不可定義定理上，因為後者主要涉及數學，而在哲學議題的範疇中效果不顯著。反之，塔斯基定理並不直接涉及數學，卻涉及任何形式語言在充分表達能力上先天限制，使我們深感興趣。這種語言藉由對角線引理（diagonal lemma）的作用產生充分的自指能力。引進塔斯基定理對哲學領域的擴展效果更加顯著。
