基本閉鏈

基本閉鏈(fundamentalcycle)是和負定曲線相關的一個重要概念,它在一定程度上反映了負定曲線的拓撲結構。

基本介紹

  • 中文名:基本閉鏈
  • 外文名:fundamentalcycle
  • 分類:數理科學
定義,性質,構造方法,奇點不變數,

定義

設X是光滑代數曲面, C是一條負定曲線,寫為
其中
是第i個不可約分支, 下標i從1取到r。換句話說,C是由r條不可約的曲線組成的。
阿廷( Artin )給了一個判定負定曲線的方法。 它證明,如果C是負定的,則曲面上上必存在一個支集support,也稱支撐集)為C的除子 Z,使得
, 對C的任何不可約分支C_i成立, 且自交數
<0。 反之,要是有這么一個除子Z,那么C就是負定的。
有趣的是, 上面滿足條件的Z中必有一個最小者。 這個最小的除子就成為C上的基本閉鏈 (fundamental cycle)。

性質

設Z是C上的基本閉鏈, 那么Z有如下性質:
(1) 算術虧格 非負, 即
(2)Z>0是有效除子
(3)
, 對C的任何不可約分支C_i成立, 且自交數
(4) 設W也是一個支集為C的除子, 且滿足
對C的任何不可約分支
成立, 那么必有W≥Z.
(5)
若且唯若 C是有理曲線,換句話說,就是C能收縮成有理奇點

構造方法

H.Laufer 給出了一種構造基本閉鏈的方法。任取C中的分支
,記
。如果存在一個分支
使得
,那么就記
如果存在一個分支
,使得
那么就記
,以此類推......有限步後此過程必會終止, 最後一項
就是我們要的基本閉鏈。

奇點不變數

由上述的阿廷的結論, 一個代數曲面的奇點在做奇點解消後,爆發出的例外曲線 是負定曲線, 它唯一確定了基本閉鏈Z. 雖然奇點解消過程不是唯一的(極小解消是唯一的), 但是人們發現 自交數
和 算術虧格
是由奇點唯一確定的,不依賴於解消過程。這兩個量就是奇點的數值不變數。
阿廷 證明, 有理奇點 的重數恰好是

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