基本閉鏈

基本閉鏈（fundamentalcycle）是和負定曲線相關的一個重要概念，它在一定程度上反映了負定曲線的拓撲結構。

基本介紹

• 中文名：基本閉鏈
• 外文名：fundamentalcycle
• 分類：數理科學

定義

設X是光滑代數曲面， C是一條負定曲線，寫為 其中 是第i個不可約分支， 下標i從1取到r。換句話說，C是由r條不可約的曲線組成的。

阿廷( Artin )給了一個判定負定曲線的方法。 它證明，如果C是負定的，則曲面上上必存在一個支集（support，也稱支撐集）為C的除子 Z，使得 ， 對C的任何不可約分支C_i成立， 且自交數 <0。 反之，要是有這么一個除子Z,那么C就是負定的。

有趣的是， 上面滿足條件的Z中必有一個最小者。 這個最小的除子就成為C上的基本閉鏈 （fundamental cycle）。

性質

設Z是C上的基本閉鏈， 那么Z有如下性質：

(1) 算術虧格 非負， 即 。

(2)Z>0是有效除子。

(3) ， 對C的任何不可約分支C_i成立， 且自交數

(4) 設W也是一個支集為C的除子, 且滿足 對C的任何不可約分支 成立， 那么必有W≥Z.

(5) 若且唯若 C是有理曲線，換句話說，就是C能收縮成有理奇點。

構造方法

H.Laufer 給出了一種構造基本閉鏈的方法。任取C中的分支 ，記。如果存在一個分支使得，那么就記。

如果存在一個分支，使得那么就記，以此類推......有限步後此過程必會終止， 最後一項就是我們要的基本閉鏈。

奇點不變數

由上述的阿廷的結論， 一個代數曲面的奇點在做奇點解消後，爆發出的例外曲線 是負定曲線， 它唯一確定了基本閉鏈Z. 雖然奇點解消過程不是唯一的（極小解消是唯一的）， 但是人們發現 自交數 和 算術虧格 是由奇點唯一確定的，不依賴於解消過程。這兩個量就是奇點的數值不變數。

阿廷 證明， 有理奇點 的重數恰好是。