埃爾米特插值是一種常見的插值方法。埃爾米特插值多項式可以從各方面擴充。可以在某些結點處放棄對某些階導數的要求，這就是所謂伯克霍夫插值。
基本介紹
- 中文名：埃爾米特插值多項式逼近
- 表達式：埃爾米特插值多項式逼近
- 提出者：埃爾米特
- 特點：結點處放棄對某些階導數的要求
- 用途：是一種常見的插值方法
- 領域：數學
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概念
埃爾米特插值多項式逼近是拉格朗日插值多項式逼近的一種拓廣。設xn<xn-1<…<x1是[a，b]上的互異的點，給定一張數表：
設f∈C[a，b]，且f在xk處有αk-1階導數，若取y(s)k=f(s)(xk)，則稱相應的埃爾米特插值多項式Hn(f，x)為f(x)的以{xk}nk=1為結點組的(α1，α2，…，αn)階埃爾米特插值多項式。藉助於Hn(f，x)對f(x)在[a，b]上的逼近(包括一致逼近與平均逼近)，都稱為埃爾米特插值多項式的逼近。若f∈C[a，b]在[a，b]上有m階導數，則：
拉格朗日插值多項式逼近
拉格朗日插值多項式逼近是常用的逼近工具。設xn<xn-1<…<x1是[a，b]上n個互異的點。1795年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就證明：如果定義在[a，b]上的函式f(x)在xk處的值f(xk)(k=1，2，…，n)是已知的，那么存在惟一的次數不高於n的代數多項式Ln(f，x)，使得Ln(f，xk)=f(xk)(k=1，2，…，n)。倘若記：
分析學
數學的一個分支學科。它是以微積方法為基本工具，以函式為主要研究對象的眾多數學經典分支及其現代拓展的統稱。簡稱分析。
20世紀初年以前，一般將全部數學分為三大基本分支：分析學、幾何學和代數學。當然，對於現代數學，已難於做如此的概括。象微分方程和機率論等學科，它們的創立都與分析密切相關，但由於它們各有獨特的研究對象，從而發展了各自的龐大系統，不能繼續將它們歸屬於分析學。一般而論，現代分析可分為實分析、複分析和包括泛函分析在內的抽象分析三大部分，它的研究對象已不限於函式，研究方法也日益綜合。在本辭海中，由於複分析和泛函分析已專門論述，這裡主要對實分析方面作一概括介紹。分析這個學科名稱，大約是由牛頓(Newton，I.)最早引入數學的，因當時微積分被看做代數的擴張，“無窮”的代數，而“分析”與“代數”同義。今天它所指雖然更廣，但仍然只是對所含學科方法上共同特點的概括，而且愈來愈不容易與幾何、代數的方法完全分清了。
分析學中最古老和最基本的部分是數學分析。它是在17世紀為了解決當時生產和科學提出的問題，經過許多數學家的努力，最終由牛頓和萊布尼茨(Leibniz，G.W.)創立的。但是為分析建立嚴格邏輯基礎的工作卻遲至19世紀方才完成.此後，數學分析才成為一個完整的數學學科。數學分析是最早系統研究函式的學科，它所研究的雖說基本上只是一類性質相當好的函式——區間上的連續函式，但無論在理論上或套用方面至今都有重要意義。在理論方面，數學分析是分析學科的共同基礎，也是它們的發源地。現代分析的諸多分支中，有一些在其發展初期曾經是數學分析的一部分(例如變分法、傅立葉分析以至複變函數論等)，而另一些則是在數學分析的完整體系建立以後，由於各種需要，在對數學分析中的某些問題的深入研究和拓廣之中發展起來的，像實變函式論、泛函分析和流形上的分析就屬於這種情況。
埃爾米特
法國數學家。生於洛林(Lorraine)地區的迪約茲(Dieuze)，卒於巴黎。1842年進入巴黎理工科大學學習。由於先天性的右腿殘疾，他曾遭受到一些人的歧視，但是，不久，他就以對橢圓函式諸問題的深入研究，贏得了著名數學家雅可比的賞識。1848年擔任了巴黎理工科大學的輔導教師，1856年被選為巴黎科學院院士，1869年成為理工科大學分析學教授，並受聘為巴黎大學的高等代數教授。他還是彼得堡科學院的名譽院士。埃爾米特在特殊函式論、數論、高等代數、數學分析等許多方面都做了很有價值的工作。他研究了橢圓函式和阿貝爾函式的除法和變換，並套用橢圓函式解5次方程，解決了包含這種函式的力學問題。他推廣了高斯研究整係數有限二次型的方法，證明了它們對任意個變數其類數仍是有限的;深入考查了矩陣理論，證明了若矩陣M=M，則其特徵根為實數。他還研究了正交多項式中的一類，即所謂埃爾米特多項式，又稱切比雪夫多項式;分析了多項式族與多變數的相似性，研究了整數用代數形表示的問題;引入了復二次型，稱為埃爾米特型，特別是在1873年證明了數e的超越性，這是很有名的結果。
