垂極點

由一個三角形的各個頂點向任一條直線作垂線，則由其垂足向對邊所作垂線必交於一點，稱為這條直線的垂極點。當直線平行移動時，垂極點的軌跡是與它垂直的直線。與外接圓相交的直線，垂極點是交點的西摩松線的交點。換句話說。一點的西摩松線是過這點的各條直線的垂極點的軌跡。如果一條直線通過外心，那么它的垂極點在九點圓上。

基本介紹

• 中文名：垂極點
• 提出者：紐堡(J.Neuberg)教授
• 相關人物：松恩，蓋拉特雷等
• 相關概念：西摩松線，九點圓，萊莫恩定理等

基本介紹

垂極點曾被紐堡(Neuberg)，松恩(Soons)，蓋拉特雷(Gallatly)等人廣泛研究，最後由蓋拉特雷集其大成。

定理 設由一個三角形的各個頂點向任一條直線作垂線，則由其垂足向對邊所作垂線必交於一點，稱為這條直線的垂極點。當直線平行移動時，垂極點的軌跡是與它垂直的直線。與外接圓相交的直線，垂極點是交點的西摩松線的交點。換句話說。一點的西摩松線是過這點的各條直線的垂極點的軌跡。如果一條直線通過外心，那么它的垂極點在九點圓上。

設一條直線交外接圓於P，Q，由三角形的頂點作這條線的垂線，每條垂線與外接圓還有一個交點，從這些交點向對邊作垂線，則這些垂線相交於外接圓上一點R。由PQ上的三個垂足向對邊作垂線，這些垂線相交於垂極點S。而P，Q，R的西摩松線也都通過S，S是直線PQ，PR，QR中任一個的垂極點。

一條直線的垂極點，關於這條線上所有點的垂足圓，有相同的冪。

相關研究及結論

❶設 為 到一條方向角為 的直線 的垂線 的長。作 垂直於 垂直於 垂直於 。這三條直線必定共點。

因為

且

所以

因此 共點。

這公共點記為S，紐堡(J.Neuberg)教授將它稱為 的垂極點。

圖1

原註：垂極點的定理幾乎全屬於J.Neuberg教授。

設 為 到TT' 的垂線 的長。

取一特殊情況，以 表示TT' 與 的邊所成的銳角。我們有

又因為 垂直於

同樣因為 垂直於

所以

當TT' 平行移動時，圖形 的形狀與大小均保持不變。

❷ 用幾何方法確定垂極點。

設 再交圓 於R，作弦 垂直於 。

設 交TT' 於 ，則

( 即 )

同樣

所以

因此作 平行於 ，便得到S。

當TT' 平行移動時，S沿TT' 的垂線 移動。

平行於AR，是R''的西摩松線。

❸確定S對於ABC的n.c.。

因為 在 上的射影=

所以

將上式右邊第一項乘以 ，其他項乘以 ，得

又

所以

將上式右邊的兩個因式相乘，並利用

得

TT' 的方程為 ，在它通過圓心 時，有 ，此時

圖2

❹設 為與TT' 平行的直徑，則 的垂極點 在九點圓上。

證明：令H為ABC的垂心，因為 ，所以 。

又

所以

但

所以

因此是的中點，從而在九點圓上。

❺圓ABC的任一弦TT'的端點的西摩松線，過TT'的垂極點。

❻萊莫恩定理：

若是直線TT'上一點，TT'的垂極點為S，則S關於P的垂足圓的冪為常數。

作平行於，圓位似，作平行於垂直於。

圖3

❼在TT'為外接圓直徑時，d為0，這時垂足三角形都過的垂極點。

因為在這時，。位似圖形的比是1：2，所以變為。

因此與在上相交。