單項表示(monomial representation)一類特殊的線性表示.一個n階方陣，若它的每行及每列至多只有一個元素不為零，則稱這個方陣為單項矩陣.設ρ是群G的一個線性表示，V是表示空間，取定v的一個基，ρ在這一基下的矩陣表示為T，若對每個g∈G,T(g)均為單項矩陣，則稱ρ為單項表示.G的不可約表示ρ是單項表示，若且唯若它是G的某個子群的一維表示的誘導表示。
基本介紹
- 中文名：單項表示
- 外文名：monomial representation
- 所屬領域：數理科學
- 相關概念：誘導表示、單項置換、單項矩陣
- 別名：單項特徵標
- 性質：線性表示
詳細介紹,與誘導表示,
詳細介紹
寫出群表示的具體矩陣是相當困難的，實際一般都難以知道解決此問題的簡單算法．某些表示可以由誘導表示構成．G的誘導表示都是通過子群的表示得到的，一般誘導表示是可約的．這裡論及由子群的一次表示誘導的群G的表示，詳細給出群G的單項表示概念，此概念的這種形式比M一群理論實際上需要的更廣義．
考慮未知數u1，…，un的集合S，在這些未知數之左可以乘上群H的元素，滿足下列定律：
1ui=ui，
這裡1是H的單位元素；又h1(h2ui)=(h1h2)ui.單項置換M是指映射ui→hijuj，i=1，…，n，j=j(i)，這裡ui→uj是S的置換．對於兩個映射M1：ui→hijuj，和M2：uj→hjkuk，我們定義它們的乘積是M1M2：ui→(hijhjk)uk．在這個定義下，這些映射組成一個群，它的單位元素是映射ui→ui,如果我們令映射M1：ui→hijuj對應於矩陣(而uij)，它的第i行的第j個元素是hij,其他元素都是零，則映射相乘的法則正是普通的矩陣乘法．在全體單項置換的群M中，乘法ui→hiiui組成正規子群D，而且商群M/D是u1，…，un的置換的對稱群．更一般地，如果G是M的子群，則當g∈G是映射ui→hijuj時，g→g*：ui→uj是從G到一個置換群上的同態，這個同態的核是G∩D．
我們說單項置換群G是傳遞的，假如對應的置換群是傳遞的。設K是G的子群而且G=K+Kx2+…+Kxn。，又設K→H是從K到群H上的同態． 那么G在H上的傳遞的單項表示由下到方式給出：對於g∈G，設xig=hijxi，i=1，……，n，j=j(i)，kij∈K．再設在同態K→H下有Kij→hij,那么π(g)：ui→hijui是G在H上的傳遞的單項表示．反之，每個傳遞的單項表示或是這種類型的，或者在群D下共軛於這種類型的表示．
與誘導表示
誘導表示是單項表示，反之不一定，故單項表示是比誘導表示更廣義的概念．
