單峰函式

單峰函式是在所考慮的區間中只有一個嚴格局部極大值(峰值)的實值函式。如果函式f(x)在區間[a, b]上只有唯一的最大值點C，而在最大值點C的左側，函式單調增加；在點C的右側，函式單調減少，則稱這個函式為區間[a, b]上的單峰函式。

基本介紹

• 中文名：單峰函式
• 外文名：unimodal function
• 所屬學科：數學
• 相關概念：峰值點、谷值點、單谷函式等

概念

定義

設D表示一個實數集合(閉區間，開區間，區間的並，集合等)，設是定義在D上的實值函式，如果存在，使得對D中任何冀，，當時，有

當時，

那么就說是定義在D上的單峰函式(圖1)，換句話說，如果在左邊遞增，在右邊遞減，那么就是D上的單峰函式，就是在D上的最大值(峰值)稱為峰值點。

類似．如果存在，使得D中任何，，當時，有

當時，有

那么就說是D上的單谷函式，稱為谷值點(圖2)。

圖1

圖2

實例分析

例1 二次函式當時，為單峰函式，當時，為單谷函式。

例2 函式在為定數)上為單峰函式，而在（均為定數）上為單谷函式。

例3 使用單因素優選法的經驗表明，單因素實驗指標函式大多為單峰(谷)函式。

例4 函式，，，在整個定義域上不是單峰函式，也不是單谷函式。

由定義可知，單峰函式在定義域上有最大值(峰值)，單谷函式有最小值(谷值)，這就確定了這函式類在處理極值問題中的地位。

單峰函式的性質

由定義可知，在閉區間或有限集合上的單調函式既為單峰函式，又為單谷函式，這樣，就容易證明，對集合D，如是D上單峰函式，，則是D'上的單峰函式，對單谷函式也一樣，歸納起來，單峰(谷)函式有如下性質。

性質1 單峰函式在其定義域的任何子集上，仍為單峰函式，對單谷函式也一樣。

性質2 若為單峰(谷)函式，那么(、為常數)，當>0時，仍為單峰(谷)函式，當<0時，為單谷(峰)函式，且峰(谷)值點不變。

特別，=0，=-1的情況告訴我們，如為單峰(谷)函式，則一為單谷(峰)函式，因此，在論證有關性質時，只考慮單峰函式就行了。

性質3 如為閉區間D上的凸函式(凹函式)，那么必為D上的單谷(峰)函式。

證明：如為D上的單調函式，則為單谷或單峰函式，如不然，則在D上有的部分遞減，有的部分遞增，因此有局部極小(大)點，該局部極小(大)點也是全局極小(大)點，因此，在左邊是減函式，而在右邊為增函式，因此，在D上是單谷(峰)函式，但是反過來不然，這就說明了單峰單谷函式同凸、凹函式的類屬關係。

單峰函式的套用

我們知道，單峰函式的概念首先是為了解決優選法理論問題的需要而提出來的，而優選法的本質在於用實驗求指標函式(無需知道它的表達式)的極值，而採用的“試一比一去”的程式，就是在實驗區間(即指標函式的定義域)[a，b]內先取兩點(0.618法，分數法，各有特定取法)和，()，通過實驗比較和的大小，如果，則把去掉，留下，其中已有一個試過的點，再按特定方法取，通過實驗比較與的大小，…；如果，則去掉，留下其中包含了已試點，按特定方法取，比較與的大小，…總之，每次去掉壞點(指較小的點)以外的那部分區間。

問題在於這種試驗程式能否保證試驗點序列收斂於最優點?我們知道，一個單峰函式，通過上述程式每次去掉一部分區間以後，性質1保證了在剩下區間上仍是單峰函式，程式可以繼續進行，但是，的峰值點是不是總留在剩下的區間中呢?下面的定理肯定回答了這個問題。

定理 設為[a，b]上的單峰函式，是它的峰值點，設，(<)是[a，b]上任意兩點，那么，

若，則在上；

若，則在上。