名額分配

名額分配問題(assignment problem of the number of deputies to be elected)政治學中的一個數學問題,“按人口比例分配議員名額”的計算方法的問題,是數學在政治學中的一個套用。它以套用淺顯的數學知識得出了深刻的政治結論,卻一直未獲根本解決,因此而著稱於世。

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由來

根據美國憲法,美國國會參議院眾議院,參議院中各州有等額議席,而眾議院“議員名額……將根據各州的人口比例分配”。這就是名額分配問題的緣起。美國憲法於1787年獲得通過,1788年生效,但從1790年以來的200多年間,怎樣操作才算公正、合理地按這一原則分配好名額,一直是美國政治家以及許多介人其中的科學家研究和爭議的問題。人們創立了許多方法,但沒有一種方法得到公認。
把這個問題數學化,則可作如下探討:設美國一共有s個州,眾議院一共設有h個議員席位。再設第i州有人口pi(i=1, 2,…, s),則全國總人口有P=p1+p2+…+ps,第i州的人口占全國總人口的比例為 。按上述憲法原則,第i州應有 ·h個議員名額,記為qi= h,,稱之為第i州的“份額”,則顯然有
q1+q2+…+qs=h。
但是一般地,qi不是整數,而議員名額卻必須是整數。怎么辦?這就是名額分配問題的癥結所在。
用“四捨五入法”或“去尾法”或“進一法”對q‘取整數,都不行,因為這就會出現或者名額不夠,或者名額剩餘。
既然不能通過簡單的對份額取整完成名額分配,問題就成為:在眾議院席位數h,州數s,各州人口數pi(i=1, 2, 3,…, s)給定的條件下,求出各州的份額qi(i=1, 2,…, s)後,如何找出相應的一組整數a1,a2,…,as,使得
a1+a2+…+as=h,
讓第i州取得a i(i=1, 2, 3,…, s)個議員名額,並且“儘可能地”滿足美國憲法所規定的“按人口比例分配”的原則?這就是“名額分配問題”。從數學上說,稍加解釋,小學生也可明白,但其求解卻難倒了眾多的政治家和數學家!

方法

美國第一任總統喬治·華盛頓時代的財政部長亞歷山大·漢密爾頓首先於1790年提出了解決名額分配問題的一種方法,1792年被美國國會通過,稱之為漢密爾頓方法。
這一方法規定如下操作程式:
(1)取各州的份額qi的整數部分[qi](如qi=1.5,[qi]=1;qk=0.82,[qk]=0),先讓第i州擁有[qi]個議員名額。
(2)再看各州份額qi的小數部分。按從大到小的順序,把餘下的議員名額逐個分配給各相應的州,分完為止。具體做法是:小數部分(qi一[qi])最大的州優先取得餘下名額中的一個,小數部分次大的州取得再餘下的名額中的一個……直到名額分完為止。
漢密爾頓方法看起來是相當公正、合理的,但它於1742年被美國國會通過後並未能馬上付諸實施。最先採用的是傑斐遜的方法。
傑斐遜方法是一種“除子方法”。在前面我們談問題的緣起時指出,問題的關鍵是:雖然有q1+q2+…+qs=h,但對qi以某種方式取整[qi]後,[q1]+[q2]+…十[qs]就不一定等於h了。傑斐遜認識到qi只有相對的意義,而不具有絕對的意義,因而,用一個正數λ去除所有的qi,得到 ,用 代替原來的qi,其對相應的第i州來說表示“份額”的意義不變。這樣如果選取適當的λ,使 在某種取整數的方法(如四捨五入法去尾法進一法等)下得到的整數[ ]加起來後恰好等於h,則可把ai=[ ]作為第i州應得的議員名額。由於用正數λ除後才得出名額的,所以叫做“除子方法”。如果用“去尾法”取得整數[ ],就叫做傑斐遜法。
傑斐遜法也有令人不能接受的地方。那就是它不能符合所謂“公平分攤”的原則。這個原則是:按常理,對某一個非整數份額qi,它所取的名額數ai應滿足[qi]<ai<[qi]+1(其中方括弧僅表示用去尾法取整數)。但採用傑斐遜法,可產生“例外”,例如s=3,h=5,而q1=0.6, q2=0.5,q3=3.9,則顯然有q3<4,按“原則”,應有3<a3<4,但按傑斐遜法,取x=0.7,則有al=[ ]=0,a2=[ ]=0, a3=[ ]=5。
這種情況使美國國會在華盛頓總統否決漢密爾頓法50年後,重又接受了漢密爾頓法,並於1851年開始在美國實際使用。

悖論

從1880年,即美國眾議院正式採用漢密爾頓法的第50年開始,美國國會出現了關於漢密爾頓法的公正合理性的激烈爭論。其原因是1880年美國人口普查後,美國的一個州——阿拉巴馬州發現用漢密爾頓方法分配名額使自己吃了虧。後來,1890年和1900年美國人口普查後,緬因州和科羅拉多州也認為自己吃了虧,因而反對漢密爾頓方法。這就是因為產生了一系列的“悖論”。
(1)阿拉巴馬悖論。按常理,假定各州的人口比例不變,而眾議院議員席位由於某種原因增加了一席,那么各州的議員名額或者不變,或者增加,無論如何不應減少,但是漢密爾頓法卻不能保證這一點。
當州數s和各州人口比例 不變,眾議院議員席位h增加反而導致某州議員名額減少,就稱之為“阿拉巴馬悖論”(因1880年該州最先遇到這種情況)。
(2)人口悖論。當h不變時,若各州人口有所增長,則即使第i州的人口增長率比第1州更大,有時也有可能第i州失去一個席位而第j州增加一個席位。這種情況被稱為人口悖論。
(3)新州悖論。設有一個新的州加人了美利堅合眾國(這在美國歷史上發生過數十次),則總人口增加,相應地眾議院席位也有所增加。這時原來某個州失去了一個席位,而另一個州增加了一席,雖然原來所有州的人口都沒有發生變化,這種情況被稱為新州悖論。
這些悖論都顯示出漢密爾頓法的不合理之處,因此,它於1910年被廢止。

問題

漢密爾頓法不合理,以傑斐遜法為代表的各種除子方法也不盡如人意,怎么辦呢?是否存在一種能使各方面都滿意的名額分配方法呢?現在美國使用的是數學家E.V.亨廷頓(Huntington)提出的幾種方法(1941年通過並被採用)。當然它們也不是沒有問題的。
兩位著名學者,美國的巴林斯基(M.Balinski)和揚(H.Young)在名額分配問題的研究中引進了公理化方法。即事先根據具體的現實問題給出一系列合理的要求,稱之為“公理”,然後用邏輯方法考察這些公理之間是否相容。如果不相容,則說明符合這些公理的對象並不存在。
巴林斯基和揚在1982年證明了關於名額分配問題的一個不可能定理,指出包括“不產生人口悖論”、“不違反‘公平分攤’原則”等在內的5條十分合理的公理不相容,即滿足這5條公理的名額分配方法並不存在。
但名額分配問題更廣一些,一般分配問題是一個有現實需要的問題,有相當廣泛的套用,如貨物、任務、人員、成本等的分配問題。怎樣儘可能合理地解決這個問題,是當代數學家正在研究的問題之一。

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