各向同性張量是指在坐標變換後分量數值即在新老坐標系中保持同名分量相等的張量。或者每一分量都是坐標系做剛體轉到變換下的不變數，則此張量是各向同性張量。
基本介紹
- 中文名：各向同性張量
- 外文名：isotropic tensor
- 性質：分量不因坐標系的旋轉而改變
- 特性：置換定理
- 套用：流體力學等
- 所屬學科：力學
簡述,定義,置換定理,性質,
簡述
各向同性張量的分量不因坐標系的旋轉而改變，即該張量與方向無關。所有零階張量都是各向同性張量。所有一階張量都不是各向同性張量。
定義
一般來說，張量的分量將隨坐標變化而變化。例如：在某個坐標系oxyz下的矢量（a，0，0），如果坐標系統繞其z軸選擇180°，則在新的坐標系下，該矢量的分量成了（-a，0，0）。可見只要|a|≠0，矢量的分量隨坐標系的改變而改變是顯而易見的。這類隨坐標系改變其分量也隨之發生變化的張量成為各向異性張量。反過來，如果存在這樣的張量H，其各個分量都不隨坐標系的改變而變化，這類張量就稱為各向同性張量。比如標量（零階張量）、克內諾克記號
以及置換記號
都是各向同性的。各向同性名詞來源於物理學。例如，物理學中常用四階張量
來描述有應力
作用下的變形狀態，即
，這裡稱之為拉伸係數。其中分量
所表達的物理意義是，在x方向的軸向拉力作用下x方向的拉伸係數。相應的拉伸係數張量 就是各向同性張量。
各向同性張量的嚴格定義可以陳述如下：對於一個n階張量
，如果它的各個分量在坐標旋轉變換下都是不變數，即
，則稱之為各向同性張量。一般來說，各向同性張量都滿足置換定理。
置換定理
在坐標系oxyz的坐標旋轉變換中，與原坐標系3個坐標軸重合的變換隻有兩種，一種是
，另一種是
，即是說在以上坐標變換下，張量坐標的變換為3→1，1→2，2→3和2→1，1→3，3→2。在這種特點坐標變換下，各向同性張量
滿足各向同性的定義。即
其中，
為
按如上之一的置換關係確定的。如上述即為置換定理。
置換定理一般陳述是：設
為n階同性張量的某個分量，若另一分量
的指標 與指標 滿足置換關係，那么必有
性質
各向同性張量的性質主要有以下幾點：
(1)零階張量(標量)都是各向同性張量。
(2)一階張量除零矢量外都是各向異性。
(3)二階各向同性張量必為
(4)三階各向同性張量必為
(5)四階各向同性張量必為
