可積函式類

函式可積的條件是定積分能否計算的一個重要條件，根據可積的充要條件，可以得出一元函式和二元函式的幾類函式是可積的。

基本介紹

• 中文名：可積函式類
• 外文名：integrable function class
• 學科：數學
• 學科領域範圍：積分學

一元可積函式

可積的條件

（1）可積的必要條件

如果函式 在閉區間 上可積，則 是 上的有界函式。

（2）有界函式可積的充分必要條件

①上和、下和的定義 設 是閉區間 上的有界函式，T是 的一個分割，記

則稱和數

分別是 在 上對應於分割T的上和和下和，或稱為達布上和與達布下和，分別記為 與 。

② 有界函式可積的充分必要條件

設 是閉區間 上的有界函式，則下述條件都是 在 上可積的充分必要條件：

對任意 ，存在 的一個分割T，使得

對任意 ，存在 的一個分割T，使得

其中 。

一元可積函式類

（1）在閉區間 上的連續函式 在上可積。

（2）在閉區間 上只有有限個間斷點的有界函式在 上可積。

（3）在閉區間上單調的函式在 上可積。

（4）如果函式是 上的有界函式，並且它的間斷點所構成的集合只有有限個聚點，則 在 上可積。

（5）如果函式是上的有界函式，並且對於任意 ，總可找出總長不超過 的有限個開區間，把 的全部間斷點覆蓋住，則 在 上可積。

（6）在 上可積函式的和、差、乘積仍可積。

例

證明黎曼函式

在區間 上可積。

證 任給 ，在 上使得 的有理點 只有有限個，設它們為 。現對 作分割 ，使 ，並把T中所有小區間分為 和 兩類。其中 為含有 中點的所有小區間，這類小區間的個數 （當所有 恰好都是T的分割點時才有 ）；而 為 中所有其餘不含 中點的小區間。由於 在 上的振幅 ，於是

而在上的振幅，於是

把這兩部分結合起來，便證得

即在上可積。

二元可積函式

可積的條件

（1）函式在上可積的必要條件是：在上有界。

（2）函式在上的可積的充分必要條件是：對於任意，存在一個分割T，使得

其中是在上的振幅（即上、下確界之差）。

二元可積函式類

（1）在上連續的二元函式在上可積。

（2）如果函式在上有界，並且它們的間斷點落在有限光滑曲線段上，則在上可積。