反演問題

反演問題是指由結果及某些一般原理（或模型）出發去確定表征問題特徵的參數（或模型參數）。在工程套用中，反演問題廣泛出現在地球物理、生物、醫療及建築等領域。反演問題相對於正演問題而存在，其一般的工作程式為數據-正演模型-模型參數的估算值。因此，正演計算模型是反演問題的基礎。只有得到了正演問題的數值解，才能考慮去求解反演問題。

基本介紹

• 中文名：反演問題
• 外文名：inverse problem
• 所屬學科：在各個科學套用廣泛
• 相關概念：正演問題、反問題等

基本介紹

反演問題是指由結果及某些一般原理（或模型）出發去確定表征問題特徵的參數（或模型參數）。在工程套用中，反演問題廣泛出現在地球物理、生物、醫療及建築等領域。反演問題相對於正演問題而存在，其一般的工作程式為數據-正演模型-模型參數的估算值。因此，正演計算模型是反演問題的基礎。只有得到了正演問題的數值解，才能考慮去求解反演問題。

反演問題研究現狀和進展

國外關於反演問題理論和方法的研究起步較早，最早期的工作可以追溯到20世紀20年代Hadamard在研究線性偏微分方程的Cauchy問題時對反演問題不適定性的陳述和研究．20世紀40年代前蘇聯院士Tikhonov率領他的工作小組開始了反問題的理論研究，終於在60年代推出了至今仍然廣泛沿用的Tikhonov變分正則化方法，並於70年代出版了反演理論的經典專著《Solutions of Ill-posed Problems》(Tikhonov et a1.，1977；中譯本《不適定問題的解法》(王秉忱譯，陳恕行校)，地質出版社，1979)．關於反演理論和方法研究的另一個方向是疊代正則化方法，該領域的典型代表是Landweber和Fridman(Landweber，1951；Fridman，1956)．以Nashed為代表的廣義逆方法是求解反演問題的又一類重要的方法，分為內逆法和外逆法(Nashed，1976)．把不適定問題的正則化放在抽象的泛函空間的完整描述是Morozov的《Methods for Solving IncorrectlyPosed Problems》(Morozov，1984)和Groetsch的《The Theory of Tikhonov Regularization forFredholm Equations of the First Kind》(Groetsch，1984)．近年來發展起來的方法有梯度型方法和Newton型方法等等(Frommer et a1．1999；Kaltenbacher，1997&1998)．

我們國家的研究工作者在反演問題的理論和方法研究方面也進行了大量的探索，最早可追溯到20世紀80年代初由中國科學院院士馮康先生倡導的反演問題的研究(馮康，1985)．隨後，有關反演理論和方法在相關的領域也如火如荼地展開了．如文[166]對地球物理中的反問題的系統理論論述；文[328]對波動方程反演問題的理論和算法的系統研究；文[105]從控制和脈衝譜角度對反演問題的論述等等，特別是大量科研人員投入精力對反演問題的正則化理論進行研究和擴展，以及從最最佳化角度對反演理論和方法的研究[27，31，56，91，92，93，96，151，274，277，278，279，294，305，314，315，100，121，120，118，119，140，63，64，30，312，311]等等．

國內外關於反問題的典型的出版物有[250，252，253，77，78，55，90，138，185，267，309，206，190，164，111，159，243，166，105]等．總的說來，國內外關於反演問題的基本理論研究仍然是以Tikhonov院士為代表的學者於20世紀70年代創立的正則化理論為框架展開的．值得指出的是大部分最佳化的方法，在適當的條件下，可以看作是一種正則化方法[275]．

反演理論和方法的基礎性研究固然重要，但如何把發展了的反演問題的理論和方法套用到數學物理、地質與地球物理和大氣科學等實際問題上，仍然是十分值得關注和研究的課題．近年來，有關這方面的套用研究也呈現出越來越火爆的趨勢．如對於遙感和地學中地表參數反演的核驅動模型，發展起來的方法有基於Bayes統計理論的帶先驗估計的最小二乘方法，QR方法、NTSVD方法、內點法等(Pokrovsky et a1．，2002；Li et a1．，2001；Wang et a1．，2005)；對於地球物理反演中震波圖的最優正則化方法(Sen et a1.，2002；Roy，2005)，對於大氣氣溶膠粒度譜反演有Philips-Twomey-King方法(Phillips，1962；Twomey，1975；King，1978)和Chahline方法(Chahine，1970)等；對於圖像復原有基於FFT的Tikhonov正則化方法及其各種擴展(Vogel，2002)；對於PDE參數識別問題有Newton-伴隨方法(Banks et a1.，1989)、Tikhonov正則化方法(Vogel，2002)、信賴域方法(Wang et a1.，2003)；對於數值天氣預報發展起來的四維變分同化(4D-Var)(醜紀范，1995)和天-地-氣-海洋遙感數據四維變分同化(4D-Var)(Liang，2004)等等．這些領域的研究遠遠沒有成熟，值得廣大的科研工作者共同去完成．

反演問題及解算概論

解反問題的理論與方法在涉及觀測與演繹的各個科學技術領域都有套用。最為複雜和困難的反問題來自地球物理領域，一方面是因為觀測數據不完備且含噪，另一方面是對問題的分析常常涉及複雜的源和介質分布情況，並且常常對介質的屬性與結構特點以及觀測數據的回響範圍都不是充分的了解。這些因素導致反問題的解答常常是非唯一的，因此在地球物理領域的反問題研究中，不僅要討論各種解算方法，還要研究提高解的唯一性的方法。

在不同的科學技術領域，反問題的提法是不同的。反問題(inverse problem)是數學和和物理領域的稱法，在地球物理領域常稱為反演(inversion)，從純數學的觀點來看，反問題和反演的解法沒有什麼不同，但從物理和邏輯的觀點來看，還是有許多不同，地球物理反演所採用的一些方法甚至是不合“邏輯”的，如波的逆源傳播在物理上是不可能的，先假定一個模型然後對其求解的方法在邏輯上也是站不住腳的。凡此種種既有認識上的問題，也有客觀困難所導致的不得已而為之的問題。作為唯物主義者，自應遵循“實踐是檢驗真理的唯一標準”。凡實踐檢驗是行之有效的方法，無論是否與現有理論觀點相吻合，都可以採用。

涉及觀測與演繹的各個學科都研究反演問題，但在不同的學科領域對其認識角度是不同。從數學的觀點來看，反演是在給定的子空間內尋找與函式空間中一點最靠近的點；從統計學的觀點來看，反演是參數估計；從資訊理論的觀點來看，反演是濾波或過程鑑別問題；而從人工智慧的觀點來看，它又是模式識別問題等等。儘管提法或術語各不相同，但其實質都是一樣的，即從觀測數據反演計算出目標參數或其分布。

反演問題研究的出發點是描述物理過程或現象的數理方程，主要是描述波場傳播的運動方程與描述場分布的場方程。地球物理學家與物理學家對待運動方程或場方程的態度有所不同，物理學家通過對物理過程的演變或物理現象的觀測建立或驗證運動方程或場方程，而地球物理學家視運動方程或場方程為真理，用它們來解釋觀測數據，準確的說是根據觀測數據確定運動方程或場方程的係數項或源項或同時確定二者。

50年代以前，也就是電子計算機發明以前，反演研究的主要內容是求取表征地球物理模型的運動或場方程的解析解，最輝煌的成果是地球圈層結構的建立。50年代以後，反問題研究大量採用以計算機技術為基礎的數值方法，尤其是70年代CT技術的創立和發展將反問題研究推進到了一個全新的階段。層析成像理論方法的誕生不僅產生了無損檢測技術(醫學CT、工業CT)，而且極大的推動了地球物理反演研究的現代化和對地球內部精細結構探測的進程。不可見目標體內部參數數值成像仍將是未來10-15年內極富創新機遇的科學研究熱點領域。

解反問題的古典方法，也是最基本的方法，是最小二乘法。近30年來，反問題研究中大量引用了線性及非線性規劃、廣義逆理論、最最佳化方法、資訊理論以及非線性理論等方面的最新研究成果和技術，使反問題的研究與反問題的解算方法發展到了一個新的階段。現代地球物理線性反演理論的基礎是由Backus和Gilbert在1976-1970年之間所發表的一系列重要文章所奠定的，所提出的一套反演理論被稱之為Backus—Gilbert理論或B—G理論。B—G理論是關於連續函式表征的地球內部物理參數的反演計算理論與方法，核心是關於有限和不精確數據反問題解的非唯一性理論及解估計評價準則與方法。1972年，Wiggins陣將B-G理論表達為離散形式，同年，Jackson用廣義逆理論詳細討論了線性反問題在這種情況下的解答。這是目前廣泛採用的，也是最重要的兩種線性反演問題解算方法。對於非線性反問題，傳統上是將其轉化為線性反問題或線性反問題序列進行求解。隨著非線性反問題理論的發展，已有趨勢傾向於直接求解反問題，常用的方法有蒙特卡羅法，模擬退化法等，這些方法都可以概括為最最佳化方法。

反問題解的非唯一性絕大多數是由於數據和知識的缺陷所引起的，而非反演方法或技巧上的問題。解決這一問題的主要途徑是對解過程及解施加約束，即利用各種已知資料(又稱先驗信息)對解參量取值範圍進行限制，因此，可將一般的反問題概括為約束最最佳化問題。