基本介紹
- 中文名：半模格
- 外文名：Semimodular lattice
- 領域：數學
- 提出者：伯克霍夫
- 別名：次模格
- 分類：上半模格、下半模格
人物簡介,格,維函式,概念,發展歷史,
人物簡介
伯克霍夫，美國數學家。生於普林斯頓，早年在哈佛大學和英國劍橋大學就讀，1932年獲哈佛大學學士學位，後獲理學博士學位.1936年起，任教於哈佛大學，1938—1941年，為助理教授，1941—1946年，為副教授，1946—1982年，任數學教授，1982年退休。美國全國科學院、美國藝術與科學學院院士。1958年，任美國數學會副主席；1971—1972年，任美國數學協會副主席；1967—1968年，任美國工業與套用數學會主席。
伯克霍夫的工作涉及格論、近世代數、核反應堆理論的流體動力學、聲學、偏微分方程的數值解，以及科學計算。他曾和菲力普斯(Phillips，R.S.)定義了取值於局部凸拓撲線性空間的函式的積分。他在1940年出版的《格論》，經重新組織並增擴內容於1967年出版了第三版，除全面闡述了有關理論外，還介紹了格論在分析、集合論(包括拓撲和測度論)等方面的套用，還涉及了有序系統及二進制運算等。他在把代數方法以及其他一些高水準的數學方法套用到別的科學領域方面有重要貢獻，並因此曾於1978年獲美國數學會G.D.伯克霍夫套用數學獎。他一生髮表學術論文近200篇，著有《流體動力學》(1950)、《橢圓方程的數值解》(1971)、《近世代數概論》(1941，與麥克萊恩(MacLane，S.)合著)和《代數》(1967)等專著。
格
“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。
一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。
格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。
格h格 設(L，£)是一個偏序集，如果對於"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a,b})和一個最小上界(記為sup{a,b})，則稱(L，£)是一個偏序格。
子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。
h代數格 在L定義二元運算*和·，滿足：對"a,b,cÎL,有
(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a
(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)
(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a
則稱(L，*，·)是代數格，用代數的語言，格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。
維函式
維函式亦稱高函式。序與格的基本概念之一。設P是有最小元0的有限長偏序集，x是P中的元素，0與x之間極大鏈的長的最小上界稱為x的維函式，記為h(x)；若P有泛界1，則h(1)=l(P)，即1的高等於偏序集P的長。
概念
半模格也叫做“次模格”，是指可以用維函式刻畫的一類重要格。設L是有限長格，若L滿足條件：
(ξ)：若a≠b，且a，b都覆蓋a∧b，則a∨b覆蓋a和b，則稱L為上半模格。若L滿足條件：
(ξ′)：若a≠b，且a∨b覆蓋a和b，則a，b都覆蓋a∧b，則稱L為下半模格，其中a，b∈L。通常將上半模格和下半模格統稱半模格。更一般地，若L是格，則L是半模格的充分必要條件是，對任意a，b∈L，由aMb得bMa；對偶地，L是下半模格的充分必要條件是對任意a，b∈L，由aM*b得bM*a。伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)首先考慮了半模格；迪爾沃思(Dilworth，R.P.)證明：每一個有限格一定與一個半模格的某一子格同構。若L是有限長的格，對任意a，b，c∈L，則下述條件等價：
1.L是上半模格。
2.b覆蓋a，有b∨c覆蓋a∨c或b∨c=a∨c。
3.h[a]+h[b]≥h[a∧b]+h[a∨b]，其中h[x]是高函式。
發展歷史
任何抽象的理論都來源於實際的例子，格論也不例外。最初研究格論是基於考慮把各種各樣的點集合、線集、平面集等做成幾何結構。例如，我們從投影發生率化何學中得到了完備模格；平面格或者幾何閉子空間。然而，如果我們再考慮放射發生率幾何學，那么相應的平面格就不再是模格了，儘管它們也保留了完備模格的幾個重要特徵。美國數學家Hassler Whitney在論文"關於線性相關的抽象性質"中提出了擬陣的概念，擬陣是一個有限集合，這個集合被賦予了一個閉運算元，而且這個閉運算元擁有一個特性，我們現在稱之為Steinitz-maclance交換性質，現在，擬陣理論也已經發展成為一門豐富的學科。Whitney的論文激發了Birkhoff的興趣，他對格的這些幾何性質進斤了研究。
最初，Birkhoff提出了下面這個條件，
(Bi)如果a∧b是a和b的下覆蓋，則a和b都是a∨b的下覆蓋。很快，這個(Bi)條件被下面的(Sm)條件所取代。
(Sm)如果a∧b是a的一個下覆蓋，則b是a∨b的一個下覆蓋。
我們將一個格（或者有限或者無限）為上半模格，如果它滿足上面這個(Sm)條件，這就是半模格的定義。
任意一個滿足(Mac)條件的格都是半模格，反之，對於有限長格或者更為一般地相對原子格來說，它滿足半模律，因此也滿足(Mac)條件。而且，任意一個滿足(Mac)條件的上連續格是模對稱格。
Dedekind還提出一個同構理論，由這個理論我們可以知道任何模格都是半模格，另外，由擬陣得到的半模格通常情況下都不是模格。與(Sm)對偶的條件也成立，我們用(Sm*)來表示，滿足(Sm*)的格叫做下半模格或者對偶半模格。對於有限格來說，條件(Sm)和(Sm*)同時成立就得到了常說的模格，在這個層面上來講，半模性可以說是模性的"一半"。然而，一個無限長的上半模和下半模格卻不一定是模格，例如一個無限希爾伯特空間的閉子空間的正交格是上半模格也是下半模格，卻不滿足模格的條件。
