基本介紹
- 中文名：勒洛三角形
- 外文名：reuleaux triangle，curved edge triangle
- 也稱：魯洛三角形，萊洛三角形
- 發現者：勒洛
- 性質：定寬曲線和定寬性
- 套用：市政檢修井井蓋的形狀
- 又稱：魯洛三角形
定義,性質,畫法,
定義
勒洛三角形是由德國機械工程專家，機構運動學家勒洛(出生於1829，死於1905)首先發現，所以以他的名字命名。作法：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形。
勒洛三角形
勒洛三角形性質
定寬曲線和定寬性
定寬曲線的概念：具有（類似圓的）定寬性的曲線稱為定寬曲線。
定寬性，幾何上的理解是：將一個圓放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切。則可以做到：無論這個圓如何運動，它還是在這兩條平行線內，並且始終與這兩條平行線相切。
勒洛三角形就是典型的定寬曲線。
勒洛三角形的等寬性質很容易證明，其寬度等於構造等邊三角形的邊長。當勒洛三角形在邊長為其寬度的正方形內旋轉時，每一個角走過的軌跡基本上就是一個正方形。
面積關係
通過勒貝格積分可以算出，勒洛三角是定寬曲線所能構成的面積最小的圖形，其面積為1/2[π-(3^1/2)]s^2，s為定寬寬度。
勒洛三角形的套用
在美國舊金山，有一些市政檢修井井蓋的形狀就是勒洛三角形，其最大優點是這種形狀的井蓋絕不會掉到井裡去。
此外，一種基於勒洛三角形的變體的設備，它能鑽出方孔來，其“方度”非常之好。
勒洛不能用作輪子，因為其中心並不穩定，每旋轉一圈會有三次跳動。而作為滾軸使用則是相當平穩。馬自達的轉子發動機也是這個原理，因為勒洛三角形是定寬曲線中面積最小的。
轉子發動機
轉子發動機畫法
曲邊三角形的畫法如下:
1．畫一個等邊三角形；
2．以所作的等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑，作各內角所對的圓弧。
等寬曲線
顯然，這個等寬曲線的寬度等於原來等邊三角形的邊長。請你親自動手做個實驗。把一硬紙卡片剪出一個如上所畫的等寬曲線的樣子，而用另一硬紙卡片剪下一個正方形的洞。如果正方形的邊長等於曲線的寬度，那么不管方向怎樣變化，它正好合適地裝入這個曲線板，並且這個等寬曲線板可以在正方形內緊密無間地自由轉動。實際上，任何等寬曲線都可以在邊長等於曲線寬度的正方形內緊密無間而自由地轉動；反之，可以在正方形內緊密而自由地轉動的曲線也是等寬曲線。用這種等寬曲線做橫斷面的滾子，也能使載重物水平地移動，而不至於上下顛簸。這種具有奇特功能的曲邊三角形，是由工藝學家魯洛首先發現的，所以也稱為魯洛曲邊三角形。
在魯洛的等寬曲線上有尖點，即在兩條圓弧相交處形成角頂。我們希望它光滑一些，可以按下面的方法得到沒有任何角頂的新的等寬曲線：把等邊三角形的各邊向兩個方向延長相等的一段；以三個頂點為圓心畫圓弧，使得三個內角所對的圓弧的半徑，等於邊長與延長線的長度的和；內角的對頂角所對的圓弧，等於延長線的長。由這樣的六條圓弧組成的等寬曲線克服了尖點，因此光滑得多了。
畫等寬曲線的關鍵的想法是
圓弧的中心是它所對的角頂。下面介紹一種等寬的曲邊多邊形的一般畫法，並使它的寬度為b。開始可以把任意點B作為第一個角頂，以B為圓心、b為半徑畫弧；在這個弧上，選擇A和C二點作為新角頂，以C為圓心、b為半徑畫弧（該弧必經過B）；在這個弧上，選擇另一個角頂D，以D為圓心、b為半徑畫弧（該弧必經過C），如果我們希望結束這個過程，可以在這個弧上選擇角頂E，使它也處在以A為圓心、b為半徑的弧上（該弧必經過點B）。也就是E是兩個弧的交點。最後，用一個以E為圓心、b為半徑的弧連線A和D，這樣就得到一個等寬的曲邊五邊形ADBEC。邊數更多的多邊形，可用同樣的方法作出來，這隻要多作幾步，然後使曲線成為閉合的就可以了。同樣的原理，我們還可以利用這些曲線得到沒有任何角頂的等寬曲線。這些方法使我們可以構作無數個等寬曲線，它們都是由許多圓弧組成的。但不要誤解為等寬曲線只能由圓弧組成，實際上有這樣的等寬曲線，它的一部分不管是多么小，都不是圓弧。在這裡我們不可能介紹它，因為已經超出了國中幾何知識的範圍。
