基本介紹
- 中文名：割圓連比例
- 外文名：cyclotomic continued proportion
- 概述：割圓連比例是清代級數
- 歷史背景：1701年，法國耶穌會傳教
- 中心問題：已知圓弧長度，如何求弦長及矢高
- 套用學科：數學
歷史背景,連比例,明安圖連比例,二分弧,三分弧,四分弦,五分弦,十分弦,百分弧,千分弧,萬分弦,正弦展開,
歷史背景
1701年，法國耶穌會傳教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）來到中國，他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函式無窮級數
這些計算
的“捷法”只涉及乘法和加減運算，速度遠超傳統[[劉徽割圓術]]涉及的平方根計算，因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密，於是他著手進行這項工作，前後歷時30年，完成了書稿《割圜密率捷法》，他在書中創建幾何模型用於獲得三角函式無窮級數，不僅推出杜德美的三個無窮級數，還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中，他發現和套用卡塔蘭數。
明安圖發現卡塔蘭數 《割圜密率捷法》卷三連比例
如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，於是。
連比例
連比例AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;
AB為第一率，以
表示
BC為第二率，以
表示
BC為第二率，以
表示
CD為第三率，以
表示
DE為第四率，以
表示
EF為第五率，以
表示
FG為第六率，以
表示
……
第m率：
於是：
明安圖連比例
二分弧
如圖BCD為全弧，AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1；BD為通弦，BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此，
割圓圓比例
割圓圓比例
作EJ=EF,FK=FJ；延長BE直線至L，並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M，並BF=MF；連LM，顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G，L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI；顯然BI=BC。
作CG之平分線BM，並令BM=BC；連GM、CM；作CO=CM交BM於O;作MP=MO；作NQ=NR，R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;因此∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:
*連比第一率:AB=AC=AD=AE
*連比第二率：BE=BC=BF=C
*連比第三率:EF=CM
*連比第四率:FJ
*連比第五率:JK=OP
1:BE=BE:EF；即
於是
,
即
因為 風箏形ABEC 與BLIN相似，。
<
即
:令BL=q
:
:
:
由此得
或
:又
,代人p值得：
:
:上式平方之，兩邊除以16：
:即
依次類推
將下列二式相加，可以消去
:同理
.......
展開式各項分子的係數 1，1，2，5，14，42，132……（見圖二 明安圖原圖最後一行，由右至左讀）乃是[[卡塔蘭數]],明安圖是發現此數的世界第一人<ref>羅見今 《明安圖和他的冪級數展開式》數學傳播34卷1期, pp. 65-73</ref>。
因而得到：
其中
:明安圖利用他首創的遞推關係：
代人
:最後得到。
:
;
在圖一中令BAE角=α，BAC角=2α
- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)
明安圖獲得的
:就是正弦倍角和正弦半角度的正弦展開式
三分弧
明安圖割圓密率三分弧如圖，BE為全弧通弦，BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=E
α=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ與三角形BδD相似。
因此：
依次類推，最後得：
四分弦
四分弦
。
:幾何意義：
明安圖獲得正弦四倍角度三角展開式：
五分弦
明安圖五分弦
:幾何意義：
十分弦
十分弦圖從十分弦開始，明安圖不再作幾何模型，而是對無窮級數進行代數運算
顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合，即
展開即得：
百分弧
同理：
展開後即得：
千分弧
萬分弦
正弦展開
令 r=1
