基本介紹
- 中文名：剩餘變數
- 外文名：remaining variable;SURPLUS
- 套用學科：數學，管理運籌學
- 適用領域範圍：運籌學 線性規劃
- 常見套用：單純形法
- 相關概念：鬆弛變數
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定義
在管理運籌學的線性規劃模型中，對於“≥”約束條件，可以增加一些代表最低限約束的超過量，稱之為剩餘變數，從而把“≥”約束條件變為等式約束條件。
在線性規劃中，一個大於等於約束條件中超過資源或能力最底限的部分稱之為剩餘量。
對於
，假如最優解為（150,110）那么剩餘量就為10。
類似地，在線性規劃中，小於等於約束條件中未被使用的資源或能力的值成為鬆弛量。
對於
，假如最優解為 （150,140）那么本約束的鬆弛量就為10。
線上性規劃的單純形法中也會用到此概念。
在《數學辭海》第五卷中解釋如下：
剩餘變數是線性規劃問題中引入的變數.當不等式約束條件為
在不等式的左端減去變數xn+i，使成為
則稱xn+i為剩餘變數.剩餘變數取非負值.
套用
經濟學
經濟學領域中，剩餘變數表示在一個經濟決策中超額滿足最低需求的量。
若為正，表示超額滿足最低需求，若為負，表示沒有滿足最低需求。其結果不影響收入，也不影響支出。因此，剩餘變數本身也是零價格的。
在引入剩餘變數，把線性規劃化為標準形式時，也正是這樣做的。
在《現代管理辭典》中定義如下：
為將線性規劃問題的數學模型化為標準型而從約束方程中減去的變數。剩餘變數大於或等於零。其經濟意義通常是剩餘的生產能力、價值等。
線性規劃
剩餘變數、鬆弛變數和人工變數是單純形法中的三種重要變數。約束條件中，存在不等式時，如果是左邊式≤右邊的資源限量則加入鬆弛變數，將≤號變為=號；如果是左邊式≥右邊的資源限量則減去剩餘變數，將≥號變為=號。
相關概念
單純形法
1939 年前蘇聯數學家康托洛維奇在《生產組織與計畫中的數學方法》一書中，最早提出和研究了線性規劃（LP）問題，1947 年美國數學家丹捷格提出了求解線性規劃問題的著名方法———單純形法。在單純形法中，涉及到三種變數——剩餘變數、鬆弛變數及人工變數。
鬆弛變數
剩餘變數和鬆弛變數容易區分，剩餘變數的引入將“≥”的不等式約束化為等式約束，而鬆弛變數的引入將“≤”的不等式約束化為等式約束，它們的目的都在於將一般形式化為標準形式。改寫前後的兩個問題是等價的，這兩種變數的取值能夠表達現行的可行點是在可行域的內部還是其邊界，也就是說，在此可行解處，原來的約束是成立嚴格不等式還是等式。因此，剩餘變數、鬆弛變數是“合法”的變數。
在經濟學領域，鬆弛變數表示在一個決策過程中原料消耗的剩餘量。
若為正，表示有剩餘；若為零，表示沒有剩餘。其結果不影響收入，也不影響支出。因此，鬆弛變數本身是零價格的。表現在目標函式中，鬆弛變數的係數為零。在引入鬆弛變數，把線性規劃化作標準形式時，正是這樣做的。
人工變數
人工變數和剩餘變數、鬆弛變數是不同的概念。人工變數的引入，改變了原來的約束條件，目的在於從輔助問題的一個基本可行解出發求出原問題的初始基本可行解，並且在第一階段要用單純形法消去人工變數，即把人工變數變成非基變數，因為只有當人工變數都等於0 時，求出來的基本可行解才有意義。從這個角度來講，人工變數是人為加上的虛擬變數，是“不合法”的變數。
