剩餘平方和

剩餘平方和是統計學術語，也稱作殘差平方和，是實際值與估計值之差的平方的總和，也就是誤差項平方的總和，利用剩餘平方和可以很好地表示剩餘的總和。

基本介紹

• 中文名：剩餘平方和
• 外文名：residual sum of square
• 別名：離差平方和
• 屬性：統計學術語
• 相關概念：線性回歸、總離差平方和等

定義

根據最小二乘法原理，平方和稱為剩餘平方和或殘差平方和，它表明除x對y的線性變化之外的一切因素(包括x對y的非線性影響及測量誤差等)對y的離差的影響。

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圖1 離差分解示意圖

回歸分析表明，因變數y的實際值(觀察值)有大有小、上下波動，對每一個觀察值來說，波動的大小可用離差()來表示。離差產生的原因有兩個方面：一是受自變數變動的影響；二是受其他因素的影響(包括觀察或實驗中產生的誤差的影響)。n個觀察值總的波動大小用總離差平方和表示。

由圖1可以看出，每個觀察點的離差可以分解為兩部分，即

其中，為剩餘離差；(為回歸離差。

將上式兩邊平方，然後對所有的n求和，則有

式中，交錯的乘積項等於零，因而總離差平方和為

即：

總離差平方和=剩餘平方和+回歸平方和

剩餘平方和又稱殘差平方和，它反映了自變數對因變數的線性影響之外的一切因素(包括對的非線性影響和測量誤差等)對因變數的作用。回歸平方和表示在總離差平方和中，由於與的線性關係而引起因變數變化的部分。

上式可寫成

其中

每個平方和都有一個自由度同它相聯繫。正如總離差平方和可以分解成剩餘平方和Q與回歸平方和U兩部分一樣，總離差平方和的自由度也等於剩餘平方和的自由度與回歸平方和的自由度之和，即

其中

在總離差平方和中，Q越大就意味著U越小，U越小表示變數間線性相關性越低，若且唯若b=0時，U是最小的。可見，要檢驗總體兩變數間是否真正線性相關，可以檢驗總體回歸係數b是否等於零。

①提出零假設和備擇假設：

②當x與y有線性關係時，可以用F統計量檢驗零假設。

其中，表示第一自由度為1，第二自由度為的F分布。F檢驗是檢驗回歸方程是否真正線性相關的一種方法，它是建立在對總離差平方和分解的基礎上進行的。

這時，若給定顯著性水平，計算F值與查表得到的F值比較(一般取0.05，0.01等，1-表示檢驗的可靠度)。如果，則稱變數x與y沒有明顯的線性關係，接受，說明回歸方程不顯著；如果，則拒絕,說明x與y有顯著的線性關係。