分類空間

分類空間是在纖維叢理論中起關鍵作用的一類空間。任意拓撲群 G 的分類空間總是存在的。分類空間的確切含義由分類定理得到體現。

基本介紹

• 中文名：分類空間
• 外文名：classifying space
• 適用範圍：數理科學

定義

分類空間是在纖維叢理論中起關鍵作用的一類空間。

分類空間是針對於拓撲群而言。設 G 是一個拓撲群，且設為 G 的萬有叢（universal bundle)，即它是以 G 為結構群的主 G 叢，其中全空間 EG 是一個典型的可縮空間且 G 在其上的作用是自由的，且底空間 BG 恰為 G 在 EG 上作用的軌道空間。

若該萬有叢具有分類性質：“對任何一個 CW 復形 X 即其上的一個主 G 叢ξ ，存在一個連續映射，稱為示性映射，使得 X 上的主 G 叢ξ 恰為叢的誘導叢”，則稱 BG 為 G 的分類空間。

拓撲群的分類空間

任意拓撲群 G 的分類空間總是存在的。

分類空間 BG 是一個道路連通的拓撲空間，其基本群同構於 G，而高維的同倫群都是平凡群。分類空間的確切含義由分類定理得到體現。

分類定理

分類定理：設 G 是一個拓撲群，且 X 是一個 CW 復形，則以 X 為底空間的主 G 叢的等價類全體的集合與從 X 到 BG 的連續映射的所有同倫類的集合 一一對應。