分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。
基本介紹
- 中文名：分類思想
- 思想類型：數學思想
- 作用：可培養學生思考的周密性，條理性
- 用途：貫穿於整箇中學數學的全部內容中
簡介,分類,
簡介
分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。分類以比較為基礎，比較是分類的前提，分類是比較的結果。
分類
分類討論思想，貫穿於整箇中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變數，這些參變數的取值會導致不同結果的。套用分類討論，往往能使複雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規律的能力。
分類思想的初高中教學銜接
1.定位
●三大基本思想之一；
●可以用紙筆方式直接測試；
●大規模考試必測的內容.
2.分類思想解題的思維過程分析
在運用分類的思想進行解題時，其思維過程通常可以分為：第一，要明確是否需要分類討論；第二，確定分類的對象；第三，確定分類的標準；第四，逐類逐級分類討論；第五，綜合、歸納結論.
第一 明確是否需要分類討論
運用分類的思想解題首先需要明確分類討論的原因.即哪些問題常常需要用到分類的思想來解決.大多數的學生在面對一個數學問題時，不易判斷此問題是否需要用到分類的方法來解決該問題，即無法根據問題的條件和結論迅速辨認問題中與分類有關的數量關係或位置關係.因此，從所給的問題情境中，正確而迅速地辨認題目中與分類有關的數量關係或位置關係的，是解決問題的基礎，一般地說，當我們研究的問題是下列幾種的情形時，可以考慮使用分類的思想方法來解決問題.
●涉及到分類定義的概念.
有些概念是分類定義的，如有理數、實數、絕對值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等，當我們套用這些概念時就必須考慮使用分類討論的方法.
例1：等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長為6，求另兩條邊的長.
有些概念在下定義時，對所考慮的對象的範圍進行了限制，如分式、一元二次方程的概念等，當解題過程中需要突破這些限制時，就必須考慮使用分類討論的方法.
例2：解關於x的方程（a－1）x－2ax+a=0
● 直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則.
《數學課程標準》的要求，直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的有：
有理數的大小比較法則；有理數的加法、乘法、除法、乘方法則；有理數乘法運算律之際的符號與因數的符號的關係；添括弧、去括弧法則；方程兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數，方程的解不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正（負）數，不等號的方向不（改）變；一元二次方程的求根公式；一元二次方程根的判別式；直線與圓的位置關係（交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較）；兩圓的位置關係（（交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較）；一次函式的性質；反比例函式的性質；二次函式的性質等.
當我們套用一元二次方程根的判別式，直線與圓的位置關係（交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較），兩圓的位置關係（（交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較），這些性質解題時，可以考慮使用分類討論的方法.
當我們套用其他受到適用範圍條件限制的定理、性質、公式、法則來解決問題時，如果在解決問題時需要突破對定理、性質、公式、法則的條件限制時可以考慮使用分類討論的方法.
例3：函式y=kx+3 (－1≤x≤1,且k≠0)的圖象上的點都在x軸的上方,則k的取值範圍是 .
●進行某些有限制的運算.
在解題時，遇到除法、開偶次方、含有絕對值符號等運算時，應該考慮使用分類討論的方法.
●在計算、推理過程中，遇到數量大小不確定.
在計算、推理過程中，往往會遇到同一個已知條件具有不同的取值（在取值範圍內），且由於取值的不同，導致了不同的結果的出現.遇到這種情況，可以考慮使用分類的方法解決問題.
在國中數學教學的過程中逐步恰當地滲透數學思想方法，培養學生的思維能力，讓學生形成良好的數學思維習慣，既是符合新課程的標準，又是進行數學素質教育的一個極好的切入點。數學中的分類思想不但是一種重要的數學思想，而且是一種重要的數學邏輯方法，分類思想不僅在數學知識的探究和概念學習中十分重要，而且在解決數學問題過程中起著不可替代的作用。
數學中的分類思想，是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類，進行研究從而解決問題的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想，更是一種重要的數學邏輯方法。
所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不象一般的數學知識那樣，通過幾節課的教學就可讓學生掌握套用。而是要根據學生的年齡特徵，學生在學習的各階段的認知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵，從而達到利用數學分類討論方法來解決問題的目的。
教學中可從以下這些方面，讓學生在學習數學的過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、討論和概括，形成對分類思想的主動套用。
一 逐步，逐年級滲透分類思想，養成分類的意識
每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如七年級學習數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。 認識數?ㄊ??
可表示任意數後，讓學生對數a 進行分類，得出正數、零、負數三類。講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類： 通過對正數、零、負數的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。結合“有理數”這一章的教學，反覆滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。並能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重複等錯誤。如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之後，還要注意分清層次，不越級討論。
二 滲透學習分類方法，增強思維的縝密性
在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重複、不遺漏地劃分為若干類，而後對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。
分類的方法一般有以下幾種：
1、根據數學概念進行分類
例1 一個數的平方與它的絕對值相比較，你能夠確定它們之間的大小關係嗎？
分析：我們知道，對於範圍在0到1之間的數，這些數的平方是小於、等於數字本身的；而對於大於1的數，它的平方是大於這個數本身的．由於題目中所給數的範圍沒有明確，因此我們無法確定這個數的平方與它的絕對值的大小，所以需要分情況進行討論（可輔助數軸進行討論）.
2、根據圖形特徵進行分類
例2△ABC中，AB=8，角B等於30°，AC=5，求BC
分析：本題根據三角形的特徵，把△ABC分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行分類討論，從而求出BC的兩個結果。
在初三證明圓周角定理時，由於圓心的位置有：在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同情況，因此我們可以引導學生先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易證明的情況，然後通過作過圓周角頂點的直徑，然後利用先證明的這種情況來依次解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一個國中教材種比較典型的定理，從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法，為中招的壓軸題考查分類討論的思想和方法做好了鋪墊。
三 引導學生分類討論，提高合理解題的能力
國中課本有不少定理、定義，公式，法則、習題都需要分類討論，在進行這些內容時，應不斷強化分類討論的意識，讓學生去認識到這些問題：只有通過分類討論後，得到結論才可能是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤，遺漏。在解題教學中，通過分類討論還有利於幫助學生總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。 一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數式或函式或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值範圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題（近年來我省常在壓軸題中考查此知識點）。
例4、某超市推出如下優惠??昳?方案{1}一次性購物不超過100元不享受優惠。{2}一次性購物超過100元，但不超過300元一律9折{3]一次性購物超過300元一律8折。
王波兩次購物分別付款80元，252元。如果他一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款( )
A.288元 B.332元 C.288元或316元 D.332元或316元
解：第一次購物顯然沒有超過100，因為80/0.9=88.88，所以第一次實質購物價值為80
設第一次實質購物價值為X，那么依題意有：
1.不超過300.
X*0.9=252
解得 X=280
那么該付款
（X+80）*0.8=288
2. 超過300
X*0.8=252
X=315
那么該付款
(X+80)*0.8=316
由上面的幾個例子，我們可以看出分類討論方法往往能使一些錯綜複雜的問題變得簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。而另一方面在課堂討論當中，可以激發學生學習數學的興趣。
實踐證明，分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性，對培養國中學生全面、周密地分析問題和解決問題的能力起到了十分關鍵的作用。在國中數學教學中我們要時刻滲透分類思想，引導學生多利用分類討論方法解決問題。
