分布參數

分布參數（distributed parameter）是統計學的基本概念之一。指統計學中用以區別分布函式族{Fθ|θ∈Θ}中的各個分布的指標θ的函式g(θ)和分布的數字特徵，如總體均值、總體標準差、總體相關係數等。參數的所有可能值組成的集合Θ稱為參數空間。參數一般不易獲得，可根據反映總體情況的樣本求出的統計量去估計它。

基本介紹

• 中文名：分布參數
• 外文名：Distribution parameters
• 相關概念：參數空間
• 舉例：總體均值、標準差、相關係數
• 領域：統計學
• 學科：數學

定義

分布參數（distributed parameter）是統計學的基本概念之一。指統計學中用以區別分布函式族{F_θ|θ∈Θ}中的各個分布的指標θ的函式g(θ)和分布的數字特徵，如總體均值、總體標準差、總體相關係數等。

參數的所有可能值組成的集合Θ稱為參數空間。參數一般不易獲得，可根據反映總體情況的樣本求出的統計量去估計它。這種由樣本對總體參數作推斷，正是統計推斷經常要進行的工作。

類型

定義分布所採用的大多數參數，根據其物理或幾何解釋，可分為三個基本類型。它們是：

(1)位置參數(記為γ)

位置參數γ確定了一個分布函式取值範圍的橫坐標。當γ改變時，相應的分布函式僅僅向左或向右移動而不發生其他變化，因而又稱為位移參數。

例如，均勻分布函式U(a，b)，其密度函式為

其中，參數a定義為位置參數，當a改變時(保持b-a不變)，f(x)向左或向右移動(參見圖1)。

圖1均勻分布U（a，b）的密度函式

(2)比例參數(記為β)

比例參數決定分布函式在其取值範圍內取值的比例尺。β的改變只壓縮或擴張分布函式，而不會改變其基本形狀。

例如，指數分布函式Exp(β)，其密度函式為

圖2給出了β=2，1，0.5時f(x)的圖形。

圖2 指數函式Exp(β)的密度函式

(3)形狀參數（記為α）

形狀參數確定分布函式的形狀，從而改變分布函式的性質，例如韋伯分布Weibull（α，β），其密度函式為

當α改變時，其形狀發生很大的變化。圖3給出了α=1，2，3時f(x)的圖形。

圖3韋伯分布Weibull（α，β）的密度函式

對於隨機變數X，Y，如果存在一個實數γ，使X與Y具有相同的分布，則稱X與Y僅僅是位置上不同的變數；如果對於某個正實數β，使得βX與Y具有相同的分布，則稱X與Y僅僅是比例尺不同的隨機變數；如果能找到實數γ與β，使γ+βX與Y具有相同的分布，則稱X與Y僅在位置與比例上不同。如果不存在γ與β使γ+βX與Y的分布相同，則X與Y或者其形狀參數不同，或者根本不服從同一類分布。

估計

由觀測數據估計某一分布參數的方法很多，使用最普遍的是最大似然估計，其他還有最小二乘估計、無偏估計等。這裡我們討論最大似然估計，其他方法可參閱有關文獻。

先討論只有一個未知參數的情形，設該參數為θ，觀測數據為x₁，x₂，...，x_n。

在離散分布情形，可令P_θ(x)為該分布的機率質量函式，定義似然函式L(θ)為

則L(θ)是聯合質量函式，θ的最大似然估計值 是使L(θ)取最大值的θ，即對於所有可能的θ值，L( )≥L(θ)。

在連續分布情形，令f_θ(x)為該分布的機率密度函式，其似然函式定義為L(θ)：

下面舉例說明如何由觀測值估計分布參數。

舉例

泊松分布，被估計參數θ=λ（λ>0），分布質量函式為P_λ(x)=e^-λλ^x/x!，(x=0,1,2,...)，則

令R(λ)=ln L(λ)，再計算

解得

又由

所以泊松分布參數λ的最大似然估計值為