函式零點

含義

一般地，對於函式y=f(x)（x∈R），我們把方程f(x)=0的實數根x叫作函式y=f(x)(x∈R)的零點（the zero of the function）。即函式的零點就是使函式值為0的自變數的值。函式的零點不是一個點，而是一個實數。

使得某系統的傳遞函式G(s)為0的s的值(注意s為複數)，該值在複平面上的點，就是零點。

若該系統的輸入為U(s)，當s取值為零點處的值，則G(s)=0。又因為系統輸出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此時無論輸入信號為何種形式，最終輸出Y(s)都是0，這也是零點的實際意義。

也可以這樣說，若某系統工作在零點上，那么此時任何輸入經過該系統後，輸出都是0。

若函式y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖像是連續曲線，並且在區間端點的函式值符號不同，即f(a)·f(b)≤0，則在區間[a,b]內，函式y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區間[a,b]內至少有一個實數解。

一般結論：函式y=f（x）的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函式y=f(x)的圖像與x軸（直線y=0）交點的橫坐標，所以方程f(x)=0有實數根，推出函式y=f(x)的圖像與x軸有交點，推出函式y=f(x)有零點。

更一般的結論：函式F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的實數根，也就是函式y=f(x)的圖像與函式y=g(x)的圖像交點的橫坐標，這個結論很有用。

變號零點就是函式圖像穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是異號（那個點函式值為零）。

不變號零點就是函式圖像不穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是同號（那個點函式值為零）。

注意：如果函式最值為0，則不能用此方法求零點所在區間。

二分法求方程的近似解

（1）確定區間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度；

（2）求區間(a,b)的中點x₁；

（3）計算f(x₁)；

①若f(x1)=0，則x₁就是函式的零點；

②若f(a)f(x₁)<0，則令b=x₁（此時零點x∈(a,x1));即圖象為（a,x₁）

③若f(x₁)f(b)<0，則令a=x₁。（此時零點x∈(x₁,b)

（4）判斷是否滿足條件，否則重複(2)~(4)