基本介紹
定義,平面求法,代碼實例,
定義
⒈對於一個集合D，D中任意有限個點的凸組合的全體稱為D的凸包。
⒉對於一個集合D，所有包含D的凸集之交稱為D的凸包。
可以證明，上述兩種定義是等價的
概念
1 點集Q的凸包（convex hull）是指一個最小凸多邊形，滿足Q中的點或者在多邊形邊上或者在其內。右圖中由紅色線段表示的多邊形就是點集Q={p0,p1,...p12}的凸包。
示例圖（一）
示例圖（一）2 一組平面上的點，求一個包含所有點的最小的凸多邊形，這就是凸包問題了。這可以形象地想成這樣：在地上放置一些不可移動的木樁，用一根繩子把他們儘量緊地圈起來，並且為凸邊形，這就是凸包了。
數學定義：設S為歐幾里得空間
的任意子集。包含S的最小凸集稱為S的凸包，記作conv(S)。
平面求法
常見求法
凸包最常用的凸包算法是Graham掃描法和Jarvis步進法
Graham's Scan法
這個算法是由數學大師葛立恆（Graham）發明的，他曾經是美國數學學會（AMS）主席、AT&T首席科學家以及國際雜技師協會（IJA）主席。
問題
給定平面上的二維點集，求解其凸包。
過程
⒈ 在所有點中選取y坐標最小的一點H，當作基點。如果存在多個點的y坐標都為最小值，則選取x坐標最小的一點。坐標相同的點應排除。然後按照其它各點p和基點構成的向量<H,p>；與x軸的夾角進行排序，夾角由大至小進行順時針掃描，反之則進行逆時針掃描。實現中無需求得夾角，只需根據餘弦定理求出向量夾角的餘弦值即可。以下圖為例，基點為H，根據夾角由小至大排序後依次為H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面進行逆時針掃描。
示例圖（二）⒉ 線段<H,K>；一定在凸包上，接著加入C。假設線段<K,C>；也在凸包上，因為就H，K，C三點而言，它們的凸包就是由此三點所組成。但是接下來加入D時會發現，線段<K,D>；才會在凸包上，所以將線段<K,C>；排除，C點不可能是凸包。
在上圖中，加入K點時，由於線段<H,C>要旋轉到<H,K>的角度，為順時針旋轉，所以C點不在凸包上，應該刪除，保留K點。接著加入D點，由於線段<K,D>要旋轉到<H,K>的角度，為逆時針旋轉，故D點保留。按照上述步驟進行掃描，直到點集中所有的點都遍歷完成，即得到凸包。
這個算法可以直接在原數據上進行運算，因此空間複雜度為O⑴。但如果將凸包的結果存儲到另一數組中，則可能在代碼級別進行最佳化。由於在掃描凸包前要進行排序，因此時間複雜度至少為快速排序的O(nlgn)。後面的掃描過程複雜度為O(n)，因此整個算法的複雜度為O(nlgn)。
Jarvis步進法
對於一個有三個或以上點的點集Q，過程如下：
計算點集最右邊的點為凸包的頂點的起點，如上圖的P3點。
Do
For i = 0 To 總頂點數
計算有向向量P3->Pi
If 其餘頂點全部在有向向量P3->Pi的左側或右側，則Pi點為凸包的下一頂點
Pi點加入凸包列表
GoTo 1
End If
Next
Exit Do
1:
Loop
此過程執行後，點按極角自動順時針或逆時針排序，只需要按任意兩點的次序就可以了。而左側或右側的判斷可以用前述的矢量點積性質實現。
中心法
先構造一個中心點，然後將它與各點連線起來，按斜率遞增的方法，求出凸包上部；再按斜率遞減的方法，求出凸包下部。
水平法
快包法
選擇最左、最右、最上、最下的點，它們必組成一個凸四邊形（或三角形）。這個四邊形內的點必定不在凸包上。然後將其餘的點按最接近的邊分成四部分，再進行快包法(QuickHull)。
代碼實例
C代碼一
#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>typedefstruct{ doublex; doubley;}POINT;POINTresult[102];//保存凸包上的點，相當於所說的棧SPOINTa[102];intn,top;doubleDistance(POINTp1,POINTp2)//兩點間的距離{ returnsqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));}doubleMultiply(POINTp1,POINTp2,POINTp3)//叉積{ return((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x));}intCompare(constvoid*p1,constvoid*p2)//根據p0->p1的極值和p0->p2的極值進行比較，如果極值相同則用距離長度比較{ POINT*p3,*p4; doublem; p3=(POINT*)p1; p4=(POINT*)p2; m=Multiply(a[0],*p3,*p4); if(m<0)return1; elseif(m==0&&(Distance(a[0],*p3)<Distance(a[0],*p4))) return1; elsereturn-1;}//尋找凸包的過程，p0,p1,p2..的尋找過程在下面main中進行了voidTubao(){ inti; result[0].x=a[0].x; result[0].y=a[0].y; result[1].x=a[1].x; result[1].y=a[1].y; result[2].x=a[2].x; result[2].y=a[2].y; top=2; for(i=3;i<=n;i++) { while(Multiply(result[top-1],result[top],a[i])<=0&&top>2) top--; result[top+1].x=a[i].x; result[top+1].y=a[i].y; top++; }}intmain(){ inti,p; doublepx,py,len,temp; while(scanf("%d",&n)!=EOF,n) { for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y); if(n==1) { printf("0.00/n"); continue; } elseif(n==2) { printf("%.2lf/n",Distance(a[0],a[1])); continue; } //這裡的目的好像是找出y坐標最小的點，之後把他定義為P0 py=-1; for(i=0;i<n;i++) { if(py==-1||a[i].y<py) { px=a[i].x; py=a[i].y; p=i; } elseif(a[i].y==py&&a[i].x<px) { px=a[i].x; py=a[i].y; p=i; } } //swap(a[0],a[p]) temp=a[0].x; a[0].x=a[p].x; a[p].x=temp; temp=a[0].y; a[0].y=a[p].y; a[p].y=temp; //用叉乘來實現排序的比較 qsort(&a[1],n-1,sizeof(double)*2,Compare); a[n].x=a[0].x; a[n].y=a[0].y; //調用tubao（） Tubao(); len=0.0; for(i=0;i<top;i++) len=len+Distance(result[i],result[i+1]); printf("%.2lf/n",len); } return0;}C代碼二
#include<iostream>//求點集合的凸包的gram算法。n是頂點個數，x,y是頂點坐標。#include<fstream>//order是按照頂點和左下腳的角度的排序後數組。#include<deque>//tu即是逆時針的凸包上的頂點。#include<math.h>usingnamespacestd;//使用條件：1。點可以任意給，可重複。//2。三個以及以上的點。ifstreamfin("input.txt");//3。已經考慮了邊上有點的情況。#defineNN1000#definepi3.1415827typedefstructCseg{ doublex,y,tg;}Cseg;intn;doublex[NN],y[NN];deque<Cseg>order;deque<int>tu;Csegseg1;deque<Cseg>::iteratorp1;deque<int>::iteratorp,q;voidin();voidgram();voidmakeorder(ints);doubledist(doublex1,doubleyy1,doublex2,doubleyy2);doublecross(doublex1,doubleyy1,doublex2,doubleyy2);voidout();intmain(){ in(); gram(); out(); return0;}voidout(){ for(inti=0;i<tu.size();i++) cout<<order[tu].x<<""<<order[tu].y<<endl; cout<<tu.size()<<"EdgesPolydgon"<<endl; return;}voidin(){ fin>>n; for(inti=0;i<n;i++) fin>>x>>y; return;}voidgram(){ intmm; mm=0; for(inti=1;i<n;i++) if(y[mm]>y+1e-9) mm=i; elseif(fabs(y[mm]-y)<1e-9&&x[mm]>x+1e-9) mm=i; makeorder(mm); seg1.x=x[mm]; seg1.y=y[mm]; tu.clear(); tu.push_back(0); tu.push_back(1); tu.push_back(2); for(inti=3;i<order.size();i++) { p=tu.end(); seg1.x=order.x; seg1.y=order.y; p--; q=p-1; if(cross(order[*p].x-order[*q].x,order[*p].y-order[*q].y,order.x-order[*q].x,order.y-order[*q].y)>1e-9) tu.push_back(i); else { tu.pop_back(); i--; continue; } } return;}voidmakeorder(ints){ doubletg; order.clear(); for(inti=0;i<n;i++) { if(i==s) continue; tg=atan2(y-y[s],x-x[s]); seg1.x=x; seg1.y=y; seg1.tg=tg; p1=order.begin(); while(p1!=order.end()) { if(fabs(tg-p1->tg)<1e-9) { if(dist(x[s],y[s],x,y)>dist(x[s],y[s],p1->x,p1->y)+1e-9) { p1->x=x; p1->y=y; } break; } elseif(tg<p1->tg) { order.insert(p1,seg1); break; } p1++; } if(p1==order.end()) order.insert(p1,seg1); } seg1.x=x[s]; seg1.y=y[s]; order.insert(order.begin(),seg1); return;}doublecross(doublex1,doubleyy1,doublex2,doubleyy2){ return(x1*yy2-x2*yy1);}doubledist(doublex1,doubleyy1,doublex2,doubleyy2){ returnpow((x1-x2)*(x1-x2)+(yy1-yy2)*(yy1-yy2),0.5);}Pascal代碼三
const pi=3.1415926575; zero=1e-6; maxn=1000; maxnum=100000000;var ans,temp:extended; n,tot:longint; x,y:array[0..maxn] of extended; zz,num:array[0..maxn]of longint;procedure swap(var ii,jj:extended); var t:extended; begin t:=ii;ii:=jj;jj:=t; end;procedure init;var i,j:longint; begin readln(n); for i:=1 to n do readln(x[i],y[i]); end;function ok(x,midx,y,midy:extended):longint;beginif abs(x-midx)<=zero then begin if abs(midy-y)<=zero then exit(0); if midy>y then exit(1) else exit(2); endelse begin if x<midx then exit(1) else exit (2); end;end;procedure qsort(head,tail:longint);var i,j:longint; midx,midy:extended; begin i:=head; j:=tail; midx:=x[(head+tail)div 2]; midy:=y[(head+tail)div 2]; repeat while ok(x[i],midx,y[i],midy)=1 do inc(i); while ok(x[j],midx,y[j],midy)=2 do dec(j); if i<=j then begin swap(x[i],x[j]); swap(y[i],y[j]); inc(i); dec(j); end; until i>j; if i<tail then qsort(i,tail); if j>head then qsort(head,j);end;function Plot(x1,y1,x2,y2:extended):extended; begin Plot:=x1*y2-x2*y1; end;function check(first,last,new:longint):boolean;varax,ay,bx,by:extended;Pt:extended;begin ax:=x[last]-x[first];ay:=y[last]-y[first]; bx:=x[new]-x[first];by:=y[new]-y[first]; if Plot(ax,ay,bx,by)<=0 then exit(true) else exit(false);end;procedure Tbao;vari,j,tail:longint;begin tot:=0; zz[1]:=1;tail:=1; for i:=2 to n do begin while(zz[tail]<>1)and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail); inc(tail); zz[tail]:=i; end; inc(tot,tail-1); for i:=1 to tail-1 do num[i]:=zz[i]; zz[1]:=n;tail:=1; for i:=n-1 downto 1 do begin while (zz[tail]<>n) and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail); inc(tail); zz[tail]:=i; end; for i:=1 to tail-1 do num[tot+i]:=zz[i]; inc(tot,tail-1);end;function dist(a,b:longint):extended; begin dist:=sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b])); end; procedure main; var i,j:longint; begin qsort(1,n); Tbao; ans:=0; for i:=1 to tot-1 do ans:=ans+dist(num[i],num[i+1]); ans:=ans+dist(num[tot],num[1]）; ans:=ans+temp*pi*2; writeln(ans:0:1); end; begininit;main;end.
