共軛二次根式性質

簡介

共軛根式（radical conjugates），是指兩個形如a+√b與a-√b的式子（其中a,b都是有理數）。兩個根式的積與和都為有理式，這兩個根式就互為共軛因式。所以，共軛因式必定是有理化因式，但有理化因式就不一定是共軛因式，共軛因式是有理化因式的特例，有理化因式則是共軛因式的一般形式。(a+√b)+(a-√b)=2a, (a+√b)(a-√b)=a^2-b.共軛根式可以用來分母有理化，(c+√d)/(a+√b)=(c+√d)(a-√b)/(a+√b)(a-√b)=(ac+a√d-c√b-√bd)/(a^2-b).

在中學代數里經常遇到一個問題是：根式的有理化問題，這個問題涉及到共軛因式的概念及其求法．

定義17 設S是已知的根式．若有一個不恆等於零的根式M，使乘積SM是一個有理式，則稱M為S的共軛因式(或有理化因式)．

顯然，S也是M的共軛因式．因此S和M互為共軛因式．

一個式子的共軛因式不是唯一的．事實上，若M是S的共軛因式，則SM(n是自然數)也是S的共軛因式．

常用的幾種求共軛因式的方法如下：

1．表達式

(此處p，q，…，r是小於n的自然數)共軛因式是

因為 MS=xy…z．

2．對於表達式

根據恆等式

a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+b)

來確定它的共軛因式．

就夠了，

來求它的共軛因式(當n是奇數時取加號，n是偶數時取減號)．

由2，3可知，求一個含有根式的代數式的共軛因式時，有時需要套用熟知的恆等式．

4．有時求一個含有根式的代數式的共軛因式需要連續地來做．如求

(x+y-z)-4xy．

5．含有根式的分式的變形．

有一個含有根式．知道共軛因式，可以使S的分子或分母脫去根式．

若M是分母的共軛因式(M2≠0)，則等式

成立．右方是分母不含根式的式子．

同樣，若M1是分子的共軛因式，則等式

成立．右方是分子不含根式的式子．

解利用恆等式x+y+z-3xyz=(x+y+z)(x+y+z-xy-yz-zx)，有

將原分式的分母、分子同乘以M，就將分母有理化了．

分母有理化

分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
如圖
II.分母是多項式
可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a－√b/(√a+√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如圖根式中分母不能含有根號，且要變為最簡的才行。
整式的運算
1、冪的運算法則（m,n是整數）：
（1）a×a=a²；
（2）a²÷a=a；（a≠0）
（3）(a)²=a²
（4）(ab)²=a²b²
2、整式的運算（略）
3、乘法公式：
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3
(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3
(三)多項式的因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解
1、提公因式法；
2、公式法：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3、十字相乘法或求根法分解二次三項式：
ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

共軛二次根式性質

基本介紹

簡介

分母有理化

套用

熱門詞條