全導數

已知二元函式z=f(u,v)，其中u、v是關於x的一元函式，有u=u(x)、v=v(x)，u、v作為中間變數構成自變數x的複合函式z，它最終是一個一元函式，它的導數就稱為全導數。全導數的出現可以作為一類導數概念的補充，其中滲透著整合全部變數的思想。對全導數的計算主要包括一一型鎖鏈法則、二一型鎖鏈法則、三一型鎖鏈法則，其中二一型鎖鏈法則最為重要，並且可以將二一型鎖鏈法則推廣到更加一般的情況n一型鎖鏈法則。

基本介紹

• 中文名：全導數
• 外文名：Total derivative
• 本質：作為一類導數概念的補充
• 特別注意：二元函式連續、可導、可微的關係
• 重要定理：各種鎖鏈法則
• 套用學科：高等數學

定義

設z是u、v的二元函式z=f(u,v)，u、v是x的一元函式u=u(x)、v=v(x)，z通過中間變數u、v構成自變數x的複合函式。這種兩個中間變數、一個自變數的多元複合函式是一元函式，其導數稱為全導數。

相關定理

一一型鎖鏈法則

在中間變數只有一個時，如z=f(u,x)，它在相應點有連續導數，則可得一一型全導數鎖鏈法則，即：

二一型鎖鏈法則

設u=u(x)、v=v(x)在x可導，z=f(u,v)在相應點(u,v)有連續偏導數，則複合函式z=f(u(x),v(x))在x可導，且有：

證明：對於自變數x的該變數△x，變數u=u(x)、v=v(x)的改變數△u,△v，進一步有函式的該變數△z，因為函式z=f(u,v)可微，即有

對上式左右兩端同除△x，得到：

又因為u=u(x)、v=v(x)可導，當時，對上式左右兩端同時取極限，則有：

至此，證明完畢。

三一型鎖鏈法則

在中間變數多於兩個時，如z=f(u,v,w)，而u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)，類似可得三一型全導數鎖鏈法則，即：

典例

例1

z=f(x,y)有連續的偏導數，，求複合函式的全導數。

解：由二一型全導數鎖鏈法則，計算得到：

例2

，求複合函式的全導數。

解：外層函式顯含自變數s，由一一型全導數鎖鏈法則，計算得到：