克羅內克不變數

克羅內克不變數是描述多變數線性系統結構的一組參數。

基本介紹

• 中文名：克羅內克不變數
• 外文名：Kronecker invariant
• 簡介：描述多變數線性系統結構一組參數
• 公式：G＝【B，AB，A2B，…，An-1B】

正文

描述多變數線性系統結構的一組參數。考慮線性系統式中x(t)為n維狀態向量，u(t)為p維輸入向量，y(t)為q維輸出向量;A、B、C分別為n×n、n×p、q×n維矩陣。如果系統是完全能觀測的（見能觀測性），它的能觀測性矩陣為則F的秩為n。將F的行向量按一定的順序排列起來，例如C1，C2，…，Cq，C1A，C2A，…,CqA，…,C1An-1，C2An-1，…，CqAn-1;其中Ci為矩陣C的第i行。對這個向量序列從左向右逐個挑選，選出與前面所選出的向量線性無關的向量。這樣被選出來的向量恰好是n個。若所選出的形如CiAj(i=1，2,…,q；j≥0)的向量的個數為vi,則有v1+v2+…+vq=n。數組(v1， v2，…，vq)稱為能觀性指標。
如果系統是完全能控的（見能控性），它的能控性矩陣為

G=【B，AB，A2B，…，An-1B】

則G的秩為n。將G的列向量按一定的順序排列起來,用上面同樣的辦法也能選出n個線性無關的向量,並得出一組整數型參數μi(i=1，2，…，p)。同樣，也有μ1+μ2+…+μp=n。數組（μ1,μ2,…，μp）稱為能控性指標。
(v1，v2，…，vq)和(μ1，μ2，…,μp) 在代數等價的意義下是不變的，即對任何滿秩方陣T，系統(A，B，C)和系統(TAT-1，TB，CT-1)所決定的能觀測性和能控性指標是一樣的。這兩組指標都稱為克羅內克不變數。
不變數的值取決於選擇無關向量時向量的排列順序，順序不同可能得到不同的不變數，從而決定不同的規範型。但如果在選擇無關向量時的順序已經給定，則不變數和規範型就都是唯一確定的。
克羅內克不變數是研究線性系統的基本參數。如何通過輸入輸出數據去決定不變數組，是線性系統結構辨識的基本問題。