偽非定常法(pseudo-unsteady methods)亦稱預處理法。一種偏微分方程數值解法。是在時間相關法中，用人工構造的時間相關方程(組)代替具有物理意義的非定常方程(組)，從而達到加速收斂到穩態解的一種疊代方法。
基本介紹
- 中文名：偽非定常法
- 外文名：pseudo-unsteady methods
- 領域：數學
- 學科：偏微分方程
- 別稱：預處理法
- 性質：有效的快速疊代解法
概念,偏微分方程,疊代解法,
概念
偽非定常法(pseudo-unsteady methods)亦稱預處理法。一種偏微分方程數值解法。是在時間相關法中，用人工構造的時間相關方程(組)代替具有物理意義的非定常方程(組)，從而達到加速收斂到穩態解的一種疊代方法。由於時間相關法沿時間方向步進的數值過程完全對應於真實的物理過程，通常從動態解達到穩態解的時間相當長。這是因為有些微分方程組的最大與最小特徵速度之比值(即條件數)很大時，便會導致時間步進法的收斂速度大大減慢，即類似於常微分方程組的剛性問題。為了避免出現上述情況，可以在原來的非定常偏微分方程組中引進一些人為的時間導數項，使新方程組的條件數儘量接近1，從而達到使動態解快速收斂到穩態解的目的。例如，流體力學中的人工壓縮法就是偽非定常方法的一個典型代表。人工構造的時間相關方程本身雖不代表真實的物理變化過程，但人們所關心的是最終的穩態解，偽非定常方法是一種有效的快速疊代解法。
偏微分方程
偏微分方程是分析數學的重要分支之一。包含未知函式及其偏導數的等式叫做偏微分方程。偏微分方程理論研究一個方程(組)是否有滿足某些補充條件的解，有多少個解，解的各種性質及解的求法等。
微積分理論形成後不久，在18世紀初，人們就結合各種物理問題研究偏微分方程。最早引起數學家興趣的是關於弦的振動問題。英國數學家泰勒在1713—1715年就導出了一根張緊的振動弦的基頻。
一階偏微分方程首先出現在幾何問題和流體力學問題的研究中(1740年以後)，蒙日給出一階偏微分方程一般理論的幾何解釋。在流體動力學中還出現了第一個偏微分方程組。19世紀初期，柯西和拉格朗日等解決了一階偏微分方程的求解問題，其基本方法是化為求解一階常微分方程組。
在整個18世紀，對偏微分方程的研究都是處於不自覺的狀態。人們認識到解偏微分方程不需要什麼新的特殊技巧，它與解常微分方程的不同之處在於解中可以出現任意函式。在這一時期，通常認為把它們化為常微分方程後便可求解，對偏微分方程理論的探討還有待深入。
到了19世紀，隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程逐漸成為數學研究的中心。不僅出現了一些新的類型，而且已有類型的套用範圍也不斷擴大。
1839年，德國數學家杜布瓦-雷蒙引入了偏微分方程的標準分類法，他分別稱上述波動方程、位勢方程和熱傳導方程為雙曲型的、橢圓型的和拋物型的。至此，人們逐漸弄清了二階線性偏微分方程的重要類型。
二階以上的偏微分方程，很難化成常微分方程求解。求方程滿足某種特定條件的解叫做定解問題。由於偏微分方程都有很強的實際背景，因此定解問題的提法也比較多。例如對於熱傳導方程，主要研究柯西問題;對於波動方程，研究最多的也是柯西問題和初邊值問題;對於位勢方程，則主要研究兩種邊值問題，第一邊值問題被稱為狄利克雷問題，第二邊值問題被稱為諾伊曼問題。
對於上述種種定解問題，到19世紀末，已有許多解法。但定解問題的系統理論到20世紀才趨於成熟。法國數學家阿達馬在20世紀初建立了偏微分方程定解問題適定性的概念。根據他的觀點，如果定解問題的解存在、唯一併且連續依賴於定解條件，那么就稱之為適定的。阿達馬被譽為二階線性偏微分方程的總結者，他不僅對定解問題做出貢獻，而且根據二階方程的特徵表達式對方程進行分類，為了研究不同類型方程的共性，他還提出一般方程基本解的概念，為偏微分方程理論的建立奠定了基礎。
19世紀末，人們開始在解析函式範圍內研究偏微分方程。柯西研究了滿足某種初始條件的偏微分方程組，建立了著名的柯西存在性定理，他的工作後來被俄國數學家柯瓦列夫斯卡婭獨立完成並推廣。對於解析函式領域中的偏微分方程，人們還得到其他比較一般的結果。
在特殊類型的二階方程得到充分的研究之後，數學家們轉向一般的二階方程，陸續得到一些結果。20世紀30年代以來，各種泛函分析方法被套用於偏微分方程的研究，不僅可以討論二階方程，而且發展了高階方程的理論，並在一般的一階方程組中也得到許多成果。偏微分方程理論發生了很大的變化。
20世紀40—50年代，人們逐漸認識到絕大多數的偏微分方程(組)無法按經典的分類進行研究，因此需要建立儘可能普遍適用的理論或給出新的分類法。瑞典數學家赫爾曼德、美國數學家盧伊等在這方面都有重要工作。
對於變係數線性方程和非線性方程的研究，在20世紀60年代以後獲得了許多進展，不斷發展出一些獨特的數學方法。微分運算元的概念有很多擴充，出現了擬微分運算元和傅立葉積分運算元等工具。在非線性問題的研究中，除不動點方法外，拓撲度方法和變分法都是十分有效的工具。
疊代解法
疊代解法是用逐次逼近解高階線性代數方程組的一種方法。先對代數方程組給一組初值。然後用疊代公式進行計算，得到一組比上一步更逼近真值的結果。疊代公式比較簡單，它不用所有變數同時聯立求解，在疊代公式中常用上一步的某些變數近似值代替真值，因此，它是一個近似解法。在計算出一疊代步的變數結果後，再用上一步驟重複計算，直至收斂。即諸變數結果變化小於某一規定小量為止。疊代法在油藏數值模擬中常用於解多節點的模擬問題，疊代法有簡單疊代法、賽德爾疊代法、超鬆弛、點疊代、線疊代、交替方向法和強隱式方法等。
