基本介紹
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基本介紹
倍立方問題是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的著名問題，和三等分角、化圓為方問題被並列為古希臘尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。倍立方問題的內容是：
“能否用尺規作圖的方法作出一立方體的棱長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍？”
倍立方問題的實質是能否通過尺規作圖從單位長度出發作出
的問題。
三大難題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾·汪策爾首先利用伽羅瓦理論證明，三等分角問題的答案是否定的。運用類似的方法，可以證明倍立方問題的答案同樣是否定的。具體來說，給定單位長度後，所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而如果能夠作出
，那么就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規作圖作出給定立方體體積兩倍的立方體是不可能的。
如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，作出給定立方體體積兩倍的立方體是可行的。
圖1.倍立方問題背景介紹
相關傳說
傳說中，這問題的來源，可追溯到公元前429年。一場瘟疫襲擊了希臘提洛島（Delos），造成四分之一的人口死亡。島民們去神廟請示阿波羅的旨意，神諭說：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變為一個長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。
開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗，覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等於已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等於已知正方體體積的2倍，還會難嗎?
尺規作圖法
在敘述倍立方問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的“直尺和圓規畫圖可能性”問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：
- 直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。
- 圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，將兩個端點同時移動，或者只固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。
定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：
1) 通過兩個已知點，作一直線；
2) 已知圓心和半徑，作一個圓；
3) 若兩已知直線相交，確定其交點；
4) 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點；
5) 若兩已知圓相交，確定其交點。
尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：“給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？”比如：“給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？”，等等。
問題敘述
倍立方問題的完整敘述是：
任意給定一個線段l，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出另一個長度的線段，使得以它為棱長的立方體的體積是以l為棱長的立方體的體積的2倍？
如果將給定線段的長度定為單位長度，則倍立方問題實質上就是要作出長度為單位長度的
倍的線段。
倍平方問題
與倍立方問題相比，倍平方問題要簡單得多。給定一個單位長度的線段，只需做一個以它為邊長的正方形，以正方形的對角線為邊長的正方形，面積就是2. 也即是說，尺規作圖可以作出長度為單位長度的
倍的線段。然而，
和
雖然形狀相近，卻有本質性的區別。數學家們直到十九世紀後，才從群論和域論的工具中了解了這個區別。
方法
如果使用有刻度的直尺，則倍立方問題求解是有可能的。作一個邊長為
的等邊三角形
，並在
的延長線上取一點
，使得
。現在，取一把直尺，使它經過
點，與
的延長線相交於
，與
的延長線相交於
，且使
。則
的長度就是
。
圖2.用有刻度的直尺來進行倍立方證明
由
得
現在設
，則
由孟氏定理
