保號性

保號性是指滿足一定條件（例如極限存在或連續）的函式在局部範圍內函式值的符號保持恆正或恆負的性質。

基本介紹

• 中文名：保號性
• 外文名：feature of guarantee code

介紹

函式在一定點集上有定義，且函式值恆正（或恆負），則稱函式在一定點集上具有保號性。

有界區域

函式有非零極限點去心鄰域內的局部保號性

定理 若函式在點的某個去心鄰域內有定義，且，

（1）若（或），則存在某個去心鄰域，對該去心鄰域內一切恆有（或）。

（2）存在某個去心鄰域，對該去心鄰域內一切恆有（或）。則（或）

證明（1）由於，根據極限定義，

對於取定正數，總存在，當時，有，

即，該去心鄰域內一切恆有。

（2）是（1）的逆命題，用反證法可得證明。

函式連續點鄰域內的局部保號性

若函式在點的某個去心鄰域內有定義，在點連續，且（或），則存在某個（實心）鄰域，對該去心鄰域內一切恆有（或）。

證明 不妨設，根據連續定義，有，根據極限的局部保號性，知存在某個去心鄰域，對該去心鄰域內一切恆有。

由於該鄰域中心點已有，該去心鄰域對應的實心鄰域內一切恆有。

無窮遠處

若函式在（）上有定義，【或】，則必存在，當時，。

結論1的證明對於的情況 ，根據極限定義，

對於取定正數，總存在，當時，有，即。

對於的情況，根據極限定義，對於任意取定的正數，必存在，當時，。

對於，以及【或】的情況，都成立類似結論：

局部保序性

局部保序性是函式極限的重要性質之一，它是局部保號性的一個推廣。以下只就的情況作敘述，時的情況完全類似，不再贅述。

定理 設，，若，則存在點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有。

設，，若存在點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有。則。

這個定理可以直接證明，也可以作了輔助函式後利用局部保號性來證明。

數列的保號性

若,

（1）若，那么存在正整數，當時，有。【注：若也有類似結論】

（2）若存在正整數，當時，有，則。