保測變換

保測變換(measure-preserving transformation)是遍歷性理論研究的基本變換，代表一個系統的保持某種信息量的隨時間的演化。

基本介紹

• 中文名：保測變換
• 外文名：measure preserving transformation
• 所屬學科：數學
• 性質：遍歷性理論研究的基本變換
• 相關概念：影射、可測影射、龐加萊定理等

定義

設是一(完備)機率空間。

定義1 如果對於任何，有

則空間到自身的影射稱做可測的。

定義2 如果對於任何，有

則可測影射稱做保測變換(morphism)。

設T是保測變換，是其n次冪，而是一隨機變數，設，考慮序列。

保測變換舉例

例1 設是由有限個點構成的集合，是中一切子集的代數，，而．如果，則是保測變換。

例2 設，P是勒貝格測度，，則是保測變換。

保測變換的物理前提條件

假設某一系統按照一定運動規律(在離散時間)演變，並構想是該系統的狀態的相空間，那么，如果是系統在時刻的狀態，則是經過n步系統進入的狀態，其中是(該運動規律誘導的)推移運算元，其次，假如A是某一“狀態的集合”，則根據其定義是經一步到達集合A的一切“初始”狀態的集合，因此，假如把視為“不可壓縮的液體”，則條件可以視為完全自然的“體積”保持不變的條件。(對於經典的封閉哈密頓(W.R.Hamilton)系統，著名的劉維爾(J.Liouville)定理斷定，相應的變換是保持勒貝格測度不變的變換。)

關於保測變換的龐加萊定理

下面關於“常返性”的龐加萊(J.H.Poincaré)定理(1912)，是有關保測變換最早的成果之一。

定理 設是一機率空間，T是保測變換，．那么，對於無限多個和幾乎一切點，有。

證明: 記={，對於一切)．由於對於任意，，則，這樣，序列由有相同P一測度的不相交集合構成，因此，

從而。從而，對於幾乎一切點和至少對於一個，由此可見，對於無限個n≥1，有。

將上面得到的結果用於變換，那么，對於每一個點\，其中N是0機率集合(並且N是對應於不同k的相應集合的並)，存在這樣的，使．由此顯然可以得到，對於無限多個n，有。

設，則在集合上

如果令當時，得所要證明的結果。

注: 假如將機率測度P換成任意有限測度，則定理仍然成立。