例外點拓撲

例外點拓撲(excluded point topology)是一種拓撲結構。例外點拓撲分為有限例外點拓撲、可數例外點拓撲、不可數例外點拓撲三類。其拓撲性質並不相同，例如有限例外點拓撲和可數例外點拓撲都是可分的、第二可數的。而不可數例外點拓撲不具有這些性質。

基本介紹

• 中文名：例外點拓撲
• 外文名：excluded point topology
• 領域：數學
• 學科：拓撲
• 性質 ：一種拓撲結構
• 分類：有限例外點、可數、不可數

概念

例外點拓撲(excluded point topology)是一種拓撲結構。設X為任意非空集合，p∈X，若：

則T是一個拓撲，稱為X上的例外點拓撲。(X，T)滿足T₀，T₄，T₅公理，但不滿足其他分離公理，是緊、σ緊、林德勒夫、可數緊、序列緊、擬緊、仿緊、局部緊、可數仿緊、第一可數、連通空間。例外點拓撲分為有限例外點拓撲、可數例外點拓撲、不可數例外點拓撲三類。其拓撲性質並不相同，例如有限例外點拓撲和可數例外點拓撲都是可分的、第二可數的。而不可數例外點拓撲不具有這些性質。

拓撲

集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T；

2.T中任意兩個成員的交屬於T；

3.T中任意多個成員的並屬於T；

則T稱為X上的一個拓撲.具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

分離公理

分離公理亦稱分離公理模式、子集公理、子集公理模式。集合論的一條重要公理。由策梅洛(Zermelo，E.F.F.)於1908年提出。該公理斷言：如果φ是帶參變元P的性質，則對任何集合X和P，都存在集合Y={u|u∈X∧φ(u，P)}，它含有X中所有性質φ的元素。這條公理可形式化為：

其中，P亦可以是參變元組P=〈P₁，P₂，…，P_n〉。如果記具有性質φ(u，P₁，P₂，…，P_n)的類為A，利用交的定義可將公理寫成下面的形式：

它的意義是類與任何集合的交是集合。由集合組成的非空類A的交∩A是集合等。分離公理的另一推論是全類V是真類，否則{x|x∈V∧x∉ x}就會是集合。由於公式φ(u，P)有無窮多個，對於每個具體的φ(u，P)都將得到一條公理，故分離公理實質上是一個公理模式，它包含了無窮多條公理。策梅洛的這條公理形象地刻畫了從已給集合按一定的限制(性質)可分離出它的子集這一性質。策梅洛用分離公理代替弗倫克爾(Fraenkel，A.A.)的替換公理後得到的公理體系稱為策梅洛集合論。它比ZF弱。例如在ZF中能證明集{ω，P(ω)，P(P(ω))，…}的存在性，而在策梅洛集合論中卻不能，這裡ω為自然數集。