作用量-角度坐標

在經典力學裡，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。套用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程，就能夠求得振動或旋轉的頻率。

基本介紹

• 中文名：作用量-角度坐標
• 外文名：action-angle coordinate
• 學科：物理

套用

作用量-角度坐標主要用於完全可分的哈密頓-亞可比方程（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變數。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，卷繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，玻爾-索末菲量子化條件(Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於Einstein-Brillouin-Keller action quantization深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變數 來表達。

在哈密頓力學裡，作用量-角度坐標也可以套用於攝動理論，特別是在決定緩漸不變數。關於一個自由度很小的動力系統的非線形攝動，混沌理論研究的最早的一個結果是KAM theorem。這定理闡明，對於微小攝動，環面不變數是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格(Toda field theory) 的解析，對於Lax pairs的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜(isospectral) 演化的構想，都占有關鍵地位。

周期性運動的坐標表示

假若，粒子的運動是周期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是周期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 。定義作用量為

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一周期的路徑。

由於廣義動量 只跟 、 有關，經過積分，作用量 只跟 有關。所以，作用量矢量 只是個常數矢量。哈密頓特徵函式可以表達為

雖然是同樣的物理量，函式的參數不同，形式也不同。

定義角度 為

由於所有的廣義坐標 都相互獨立，所有的廣義動量 也都相互獨立，所以，所有的作用量 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函式可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

新哈密頓量 與舊哈密頓量 相等：

因為作用量只是常數矢量，所以，

新哈密頓量，只跟作用量 有關，跟角度無關。

角度 隨時間的導數 ，可以用哈密頓方程決定：

每一個 都是常數，所以，也是常數：

其中，是積分常數。

基本規則總結

一般程式有三個步驟：

1）計算作用量變數。

2）用作用量變數表示原本哈密頓量。

3）取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 。