點P(p1,p2)在曲線F(x,y)=0上運動，由點P的移動，按照一定的關係，引起點M(m1,m2)的移動，則稱點M是點P的伴隨點，M的運動軌跡G(x,y)=0稱為伴隨軌跡．
伴隨拋物線和伴隨直線,伴隨拋物線的性質,例,
伴隨拋物線和伴隨直線
伴隨拋物線（Concomitant parabola）
對於拋物線l：y=ax^2+bx+c（其中a,b,c均不為0），它的頂點P的坐標是(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))，焦參數p=1/(2|a|)，與y軸的交點是M(0,c)．我們稱以M為頂點，關於y軸對稱，過點P的拋物線r為拋物線l的伴隨拋物線．直線PM為l的伴隨直線．伴隨拋物線r的方程為y=-ax^2+c．伴隨直線PM的方程為y=(b/2)x+c．
伴隨拋物線的性質
伴隨拋物線r的焦參數也是p=1/(2|a|)，與原拋物線l形狀相同，大小相等，並且關於線段PM的中點Q中心對稱．Q點的坐標為(-b/(4a),(8ac-b^2)/(8a))．
特別地，拋物線x^2=2py的伴隨拋物線為x^2=-2py，伴隨直線為x軸．
伴隨關係是一種主從關係，不可逆，換言之，一條拋物線的伴隨拋物線的伴隨拋物線不是它本身．
例
（1）寫出拋物線y=2x^2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線方程分別是y=-x^2-3，y=-x-3，求這條拋物線的方程；
（3）若拋物線l：y=ax^2+bx+c與x軸交於A(x1,0)、B(x2,0)兩點，0<x1<x2，它的伴隨拋物線與x軸交於C、D兩點，且AB=CD．求出a,b,c應滿足的條件．
解：
（1）伴隨拋物線的解析式為：y=-2x^2+1 ，伴隨直線的解析式為：y=-2x+1；
（2）所求拋物線的方程為y=x^2-2x-3；
（3）l的伴隨拋物線方程為y=-ax^2+c．設C(x3,0)、D(x4,0)，根據韋達定理，x3+x4=0，x3x4=-c/a ，所以|CD|^2=(x4-x3)^2=(x3+x4)^2-4x3x4=4c/a．同理可得，|AB|^2=(x4-x3)^2=(b^2-4ac)/a^2 ．因為AB=CD，所以4c/a=(b^2-4ac)/a^2，即b^2-8ac=0，這就是a,b,c應滿足的條件．此時，對稱中心為(-b/(4a),0)，在x軸上．
