伯諾里方程即伯努利方程，又稱恆定流能量方程，是理想流體定常流動的動力學方程，意為流體在忽略粘性損失的流動中，流線上任意兩點的壓力勢能、動能與位勢能之和保持不變。
基本介紹
- 中文名：伯諾里方程
- 類型：動力學方程
- 別稱：恆定流能量方程
- 套用：科學運算
恆定流理想液體元流能量方程,恆定流實際液體元流能量方程,恆定流實際液體總流能量方程,
恆定流理想液體元流能量方程
如圖3-5a)所示，在理想液體（=0）中沿流線取坐標軸s，從中取微元隔離體分析。其長為ds，微段過水斷面積為dA，傾角為α，微元隔離體沿流線方向所受外力為Fs，加速度為，對於恆定流有
按牛頓第二定律
（3-14）
上式稱為恆定流理想液體元流歐拉運動微分方程。它是牛頓第二定律在流體力學中的表達式。對公式（3-14）積分，得
（3-15）
上式稱為恆定流不可壓縮理想液體元流能量方程。又稱為恆定流不可壓縮理想液體元流伯諾里方程，簡稱理想液體元流能量方程或伯諾里方程。它反映了液流沿流線z、三者的關係。
其幾何意義和物理意義有：
z——計算點距基準面0～0的位置高度，稱為位置水頭，表征單位重量液體的位置勢能，簡稱單位位能；
——測壓管中水面距計算點的壓強高度，稱為壓強水頭，表征單位重量液體的壓力勢能，簡稱單位壓能；
——測壓管水面距基準面0～0的高度，又稱為測壓管水頭，表征單位重量液體的總勢能，簡稱單位總勢能；
——其量綱為[L]，為流速所轉化的高度，即不計射流本身重量及空氣阻力時，以速度可噴射的鉛垂高度，稱為流速水頭。因有
可見流速水頭所表征的是單位重量液體所具有的動能，簡稱單位動能。
令
（3-16）
式中H稱為總水頭，表征計算點單位重量液體所具有的總能量；Hp稱為測壓管水頭，表征計算單位重量液體所具有的總勢能：
表明理想液體元流的單位總能沿程（沿流線）守恆；其總水頭線為一水平線，如圖3-5c)所示。
測壓管水頭線因受流速影響，沿程則可有升有降。當液體沿流線作加速運動時，Hp沿程減小，測壓管水頭線沿程下降；當液體沿流線作減速運動時，Hp沿程增大，測壓管水頭線沿程上升；當液體沿流線作等速流動時，測壓管水頭線與總水頭線平行且同為水平線。
單位長度水頭線的變化值（即水頭線的斜率），稱為坡度。有
（3-17）
式中：J——水力坡度；
Jp——測壓管坡度。
習慣認定，J>0或Jp>0時，水頭線沿程下降，J<0或Jp<0時，水頭線沿程上升，J=0或Jp=0時，水頭線為水平線，Jp=J時，兩水頭線互相平行。
對於理想液體，有J=0，其中若為等速流動時，1=2==const，Jp=J=0，即總水頭線與測管水頭線為相互平行的水平線。
恆定流實際液體元流能量方程
設單位重量液體沿線的能量損失為，按能量守恆原理，有
（3-18）
上式即恆定流，不可壓縮實際液體元流能量方程。又稱為實際液體元流伯諾里方程。由公式（3-18），dH=H2－H1=，對於實際液體，H2<H1，>0，故
（3-19）
上式表明，實際液體的總水頭線恆為一根沿程下降的曲線，但測壓管水頭線仍可有升有降。當液流作等速流動時，1=2==Const，測壓管水頭線與總水頭線是兩根沿程下降的平行線。
恆定流實際液體總流能量方程
設總流沿程流量不變，即Q1=Q2=Q；前後兩過水斷面為漸變流，過水斷面的總機械能為E，兩斷面的能量損失加權平均值為hw，有
（3-20）
由E1=E2+E,得
(3-21)
上式即恆定流實際液體總流能量方程的基本形式。其各項的幾何意義、水力學意義及能量意義如元流能量方程所述，不同之處是各項具有平均值概念。
此外，元流能量方程限用於同一流線，即前後兩計算點必須取在同一流線上；而總流能量方程由於引入了斷面平均流速，前後兩斷面的計算點可以不在同一流線上。因此，總流能量方程在套用上比元流能量方程更具有靈活性與套用性。
根據推導能量方程所作的規定，應牢記公式（3-21）如下的套用條件：
（1）流量沿程不變，即Q1=Q2=Q；
（2）恆定流，；
（3）不可壓縮液體，；
（4）重力液體，X=Y=0，Z=－g；
（5）前後兩計算斷面必須為漸變流。因而有，但計算斷面間可以有急變流存在。
公式（3-21）只是液流能量守恆原理的基本方程。當兩斷面間能量有輸出或輸出以及有流量加入或分出時，此式不適用。
其套用要點如下：
（1）計算斷面的選擇。計算斷面必須選用漸變流或均勻流斷面，並使其中的未知數最少。如圖3-6所示為有壓管流，計算點的位置高度z1,z2可隨所選計算點確定，因此，每一斷面的未知數只有兩個，即，。若計算斷面選在2—2斷面處，z2已知，但2, 均未知；若計算斷面取在3-3斷面處，則有z3=0, 3=0，只有未知。
（2）計算基準面的選定。兩過水斷面的計算點必須同取一個基準面並應使z≥0，以保證位置勢能不出現負值。如圖3­-6所示，計算基準面0-0常取在管軸處，z=0。
（3）計算點的選定。選定的計算點應便於確定位置高度及壓強。如圖3-8所示，若斷面1-1的計算點選在水面處，則；若斷面3-3的計算點選在出口斷面的形心處，有z3=0，。
（4）兩斷面的壓強可用相對壓強，也可用絕對壓強，一般多取。但兩斷面必須取同種壓強。
（5）兩斷面的過水麵積A1、A2確定後，、關係由連續性方程確定。當知時，則有。
動量方程是自然界動量守恆定律在水流運動中的表達式。它和連續性方程、能量方程，通常合稱為水力學的三大定律；它反映液流動量變化與固體邊壁作用力的關係。常用以求解水流對邊壁的作用力。 按理論力學中的質點系動量定理有：單位時間內質點系的動量變化率等於其所受外合力，可用下式表達：
（3-22）
上式為矢量式，方程式中不出現內力。
建立動量方程需通過隔離體分析其動量變化與外力的關係，而導出元流和總流的動量方程式。即：
元流動量方程的矢量式：
（3-23）
對上式積分，得總流動量方程矢量式：
（3-24）
公式（3-24）或公式（3-23）對於任一坐標軸均成立。這一特性有時可大為簡化水力計算。若沿S軸寫動量方程，有
（3-25）
通常將總動量方程用直角坐標三軸向的標量式表示，即
（3-26）
式中：1x, 1y, 1z為流速1在三坐標軸向的分量；
2x, 2y, 2z為流速2在三坐標軸向的分量；
順軸向承正值，逆軸向取負值。
Fx，Fy，Fz為外合力F在三坐標軸向的分量，順軸向取正，
逆軸向取負。
所謂外合力，是指作用於控制體（隔離體）的一切外力的矢量和。
動量方程的套用要點：
（1）必須先繪出計算流段的隔離體，標明外力的方向及所取坐標系。
（2）前後控制斷面應選在漸變流斷面處，斷面所受的水壓力才能按靜水總壓力規律計算，即。
（3）邊壁反力R在隔離體中的方向可任意設定。若計算結果R>0，則R所設方向一致，若R<0，則R的方向與所設方向相反。
（4）水流對邊壁的作用力R’與邊壁反力R大小相等，方向相反且位於同一作用線上，這是作用力與反作用力的關係。動量方程並不能直接求得水流對邊界壁面的作用力，只能通過R推求R’。
（5）液流的動量變化，只能是隔離出口斷面的動量與入口斷面動量之差，二者不可顛倒計算。
（6）公式（3-24）、式（3-25）及式（3-26）對實際液體與理想液體均適用。它們常與能量方程、連續性方程聯立解題。工程計算一般取。
