基本介紹
- 中文名：伯格曼度量
- 外文名：Bergman metric
- 領域：數學
- 性質：克勒度量
- 研究內容：有界域的幾何性質及函式論性質
- 提出者：伯格曼
概念,克勒度量,度量空間,希爾伯特空間,人物簡介,
概念
伯格曼度量是一類特殊的克勒度量。設U是Cn中任一有界域，用H表示U上所有滿足：
克勒度量
克勒度量是特殊的埃爾米特度量。設M是具有殆復結構J的殆複流形，g為M上的埃爾米特度量，Φ是相應的克勒形式，若Φ是閉的，即dΦ=0，則稱g為克勒度量。給定克勒度量的複流形，就稱為克勒流形。
埃爾米特度量是殆複流形上的一種度量。設M是殆複流形，具有殆復結構J。若M上黎曼度量g滿足g(JX，JY)=g(X，Y)，這裡X，Y是M上任意向量場，則g稱為M上的埃爾米特度量。
度量空間
度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：
1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y；
2.ρ(x，y)=ρ(y，x)；
3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z)；
則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ)。設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函式ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間。
度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x0∈R，存在常數M，使ρ(x0，x)≤M對A中的一切x成立。設x0∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x0)<r}為以x0為中心，r為半徑的開球，或x0的r鄰域，記為O(x0，r)。又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集；而稱開集的補集為閉集。R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。
度量空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年引進的，它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。
希爾伯特空間
希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。對希爾伯特空間及作用在希爾伯特空間上的運算元的研究是泛函分析的重要組成部分。
設H是一個實的線性空間，如果對H中的任何兩個向量x和y，都對應著一個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：
①對H中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②對H中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③對H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是H上的一個內積，而H稱為內積空間。
如果定義‖x‖=
，則在‖0‖下，H構成一個線性賦范空間。
完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。
歐幾里德空間是希爾伯特空間的一個重要特例，希爾伯特空間的另一個最重要的特例是L(G)，設G是n維歐幾里德空間中的一個有界閉域， 定義在G上的滿足⨜G|f(x)|dx<+∞的勒具格可測函式全體記為L(G)，在L2(G)中引入內積(f，g)=⨜Gf (x)g(x)dx，則L(G) 是一個希爾伯特空間，L(G)是實用中最重要和最常用的希爾伯特空間。
希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。
在泛函分析中，詳細地研究了希爾伯特空間自共軛運算元的理論，特別是自共軛運算元的譜理論，這一理論在經典數學的不少領域中有廣泛的套用。需要特別指出的是，自共軛運算元的譜理論，為量子力學的發展，提供了適合的工具。
理論數學、套用數學和物理中的許多問題，在希爾伯特空間中，可得到較好的處理，因此，希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的套用。
人物簡介
伯格曼是美籍數學家。生於波蘭的琴斯托霍瓦。1933年在德國柏林大學獲數學博士學位。1931—1933年在柏林大學任不支薪講師；1934—1937年先後在蘇聯托木斯克及提比里西大學任教授；1939—1940年在美國麻薩諸塞理工學院任講師；1940—1941年任耶西華學院講師；1941—1945年任布朗大學講師；1945—1951年任哈佛大學講師；1951—1952年回麻薩諸塞理工學院任講師；1952—1974年在史丹福大學任教授，1974年退休任榮譽教授。美國數學會、工業與套用數學會、美國藝術與科學學院院士。專業興趣：純粹數學與套用數學，包括多複變函數、偏微分方程、流體力學等。1922年與博赫納(S.Bochner)一起提出了核函式的概念，它是研究多複變函數的有效工具。1949年研究偏微分方程，獲得一些解的積分表達式。著作有《核函式與正則映射》(The Kernel Function and Conformal Mapping， 1950；中譯本，科學出版社，1958)，與M·希費爾合著的《數學物理中的核函式與橢圓微分》(Kernel Functionand Elliptic Differential in Mathematical Physics， 1953)等。
