伯努利微分方程

形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，稱為伯努利微分方程，其中n≠0並且n≠1，其中P（x），Q（x）為已知函式，因為當n=0，1時該方程是線性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年進行了研究。伯努利方程是特殊的，因為它們是具有已知精確解的非線性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情況是邏輯微分方程。

基本介紹

• 中文名：伯努利微分方程
• 外文名：Bernoulli differential equation
• 領域：數學
• 提出者：雅各布·伯努利
• 性質：具有已知精確解的非線性微分方程
• 公式形式：y'+P（x）y=Q(x)y^n

簡介

形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，稱為伯努利微分方程，其中n≠0並且n≠1，其中P（x），Q（x）為已知函式，因為當n=0，1時該方程是線性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年進行了研究。伯努利方程是特殊的，因為它們是具有已知精確解的非線性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情況是邏輯微分方程。

轉換為線性微分方程

伯努利微分方程可以把變數替換成為線性微分方程，將伯努利微分方程兩端除以，得

作變數替換，則。代入上式，有：

這是以z為未知函式的一階線性微分方程，由此方程解出z，再由可得伯努利微分方程的解。

注意，對於n=0和n = 1，伯努利方程是線性的。 對於n≠0和n≠1，替換 將任何伯努利方程調整到線性微分方程。 例如：

讓我們考慮以下微分方程：

以伯努利形式（用n = 2））重寫它：

現在，用 我們得到：

，它是一個線性微分方程。

求解

作為線性微分方程的解：

那么我們有

是下面方程的解

對於每個這樣的微分方程，都有>0，我們有y恆等於0。